1.4.4. Стійкість, узгодженість і збіг скінченно-різницевих схем
Чи можна бути упевненим, що чисельний розв’язок диференціального рівняння в часткових похідних буде близьким до точного розв’язку? Можна, якщо різницева схема задовольняє умовам узгодженості і стійкості.
Система алгебраїчних рівнянь, які одержані у процесі дискретизації, узгоджується з початковим диференціальним рівнянням в часткових похідних, якщо в границі, коли розміри комірок сітки наближаються до нуля, система алгебраїчних рівнянь еквівалентна диференціальному рівнянню в часткових похідних в кожному вузлі сітки.
Перевірка на узгодженість: точний розв’язок підставляється у скінченно-різницеві рівняння з подальшим розкладанням всіх вузлових значень в ряд Тейлора в околі однієї точки. Одержаний вираз повинен складатися з початкового диференціального рівняння і залишкового члена. Якщо залишковий член наближається до нуля при подрібненні сітки, скінченно-різницева схема є узгодженою.
Приклади: рівняння конвекції-дифузії
і його скінченно-різницева апроксимація
. (1.104)
Замінюємо кожен член розкладаннями в ряд Тейлора:
,
і підставляємо в СРС
,
з початкового рівняння можна виразити всі тимчасові похідні через просторові:
,
в результаті одержимо
(1.105)
з рівняння видно, що для узгодженості необхідне виконання умов на кроці сітки