загрузка...
 
1.4.4. Стійкість, узгодженість і збіг скінченно-різницевих схем
Повернутись до змісту

1.4.4. Стійкість, узгодженість і збіг скінченно-різницевих схем

Чи можна бути упевненим, що чисельний розв’язок диференціального рівняння в часткових похідних буде близьким до точного розв’язку? Можна, якщо різницева схема задовольняє умовам узгодженості і стійкості.

Система алгебраїчних рівнянь, які одержані у процесі дискретизації, узгоджується з початковим диференціальним рівнянням в часткових похідних, якщо в границі, коли розміри комірок сітки наближаються до нуля, система алгебраїчних рівнянь еквівалентна диференціальному рівнянню в часткових похідних в кожному вузлі сітки.

Перевірка на узгодженість: точний розв’язок підставляється у скінченно-різницеві рівняння з подальшим розкладанням всіх вузлових значень в ряд Тейлора в околі однієї точки. Одержаний вираз повинен складатися з початкового диференціального рівняння і залишкового члена. Якщо залишковий член наближається до нуля при подрібненні сітки, скінченно-різницева схема є узгодженою.

Приклади: рівняння конвекції-дифузії

і його скінченно-різницева апроксимація

.   (1.104)

Замінюємо кожен член розкладаннями в ряд Тейлора:

,

і підставляємо в СРС

,

з початкового рівняння можна виразити всі тимчасові похідні через просторові:

,

в результаті одержимо

(1.105)

з рівняння видно, що для узгодженості необхідне виконання умов на кроці сітки

                     (1.106)

де L – характерний масштаб довжини зміни поля



загрузка...