загрузка...
 
1.4.8. Застосування методів скінченних різниць для розв’язання модельних рівнянь
Повернутись до змісту

1.4.8. Застосування методів скінченних різниць для розв’язання модельних рівнянь

Рівняння гіперболічного типу

Приклад: рівняння газової динаміки в акустичному наближенні

.         (1.115)

Якщо вважати збудження густини і швидкості малими величинами, одержимо лінеаризоване рівняння

.

При високих частотах коливань кожен газовий об'єм можна вважати адіабатичним, тому мала зміна тиску пов'язана з малою зміною густини через рівняння стану

.                        (1.116)

Звідси випливає рівняння акустики

.                           (1.117)

Рівняння можна подати у вигляді

.

Загальніший випадок: система квазілінійних рівнянь 1-го порядку

.         (1.118)

Для визначення типу рівняння необхідно знайти власні числа  і власні вектори  матриці  з рівняння

.

Система буде гіперболічною, якщо всі власні значення в даній області простору дійсні і різні.

Помножимо рівняння на к-й власний вектор і врахуємо його визначення

.

Оператор

є похідною уздовж лінії, що задається рівнянням

,

яка називається характеристикою.

Рівняння можна записати у характеристичній формі

.

Початкові умови для гіперболічної системи рівнянь можна задавати на будь-якій кривій C, напрям якої не збігається з напрямом характеристик.

Простішим гіперболічним рівнянням є одновимірне лінійне рівняння перенесення

,

яке має точний розв’язок для початкових умов

,

.

Рисунок 1.9 – Зображення інтерполяційно-характеристичного методу

Різницеві схеми для рівнянь перенесення. Явний метод Ейлера

 Похибка апроксимації .

Проведемо аналіз стійкості методом Неймана. Перепишемо схему у вигляді

 де  - число Куранта.

підставляємо в неї , після чого отримаємо  - завжди стійка!

Нижче будемо користуватися так званим інтерполяційно-характеристичним методом побудови різницевих схем для рівняння перенесення. У цьому підході використовується властивість перенесення розв’язку вздовж характеристик. Розв’язок в точці  буде дорівнювати значенню функції з попереднього шару у точці  (див. рис. 1.9):

.

Для того щоб побудувати схему, потрібно виразити величину  через значення функції у сусідніх вузлах за допомогою інтерполяції.

Метод різниць проти потоку

Лінійна інтерполяція по сусідніх вузлах

 - опорні вузли беруться, як на рисунку

.

Похибка апроксимації

.

Проте схема є точною при

 коли .

Розглянемо рівняння диференціального наближення (або модифіковане рівняння). Для цього підставимо в скінченно-різницеву схему розкладення у ряд Тейлора в околі точки  для функції, , яка збігається з чисельним розв’язком у вузлах сітки

            Оскільки, , то , крім того,

,

оскільки

,

у результаті одержуємо диференціальне наближення

.(1.119)

Видно, що при числах Куранта, менших за одиницю, наявна схемна в'язкість і дисперсія. Дисперсійне співвідношення для цього рівняння має вигляд

.

Фазова швидкість

 – відставання по фазі, при  – випередження.

Центрована за часом неявна схема (Crank-Nicolson Method)

Апроксимуємо рівняння у точці :

,

(1.120)

.

Похибка апроксимації .

Стійкість

,

безумовно стійка.

Диференціальне наближення

,

схемна в'язкість дорівнює нулю.



загрузка...