1.4.8. Застосування методів скінченних різниць для розв’язання модельних рівнянь
Рівняння гіперболічного типу
Приклад: рівняння газової динаміки в акустичному наближенні
. (1.115)
Якщо вважати збудження густини і швидкості малими величинами, одержимо лінеаризоване рівняння
.
При високих частотах коливань кожен газовий об'єм можна вважати адіабатичним, тому мала зміна тиску пов'язана з малою зміною густини через рівняння стану
. (1.116)
Звідси випливає рівняння акустики
. (1.117)
Рівняння можна подати у вигляді
.
Загальніший випадок: система квазілінійних рівнянь 1-го порядку
. (1.118)
Для визначення типу рівняння необхідно знайти власні числа і власні вектори матриці з рівняння
.
Система буде гіперболічною, якщо всі власні значення в даній області простору дійсні і різні.
Помножимо рівняння на к-й власний вектор і врахуємо його визначення
.
Оператор
є похідною уздовж лінії, що задається рівнянням
,
яка називається характеристикою.
Рівняння можна записати у характеристичній формі
.
Початкові умови для гіперболічної системи рівнянь можна задавати на будь-якій кривій C, напрям якої не збігається з напрямом характеристик.
Простішим гіперболічним рівнянням є одновимірне лінійне рівняння перенесення
,
яке має точний розв’язок для початкових умов
,
.
Рисунок 1.9 – Зображення інтерполяційно-характеристичного методу
Різницеві схеми для рівнянь перенесення. Явний метод Ейлера
Похибка апроксимації .
Проведемо аналіз стійкості методом Неймана. Перепишемо схему у вигляді
де - число Куранта.
підставляємо в неї , після чого отримаємо - завжди стійка!
Нижче будемо користуватися так званим інтерполяційно-характеристичним методом побудови різницевих схем для рівняння перенесення. У цьому підході використовується властивість перенесення розв’язку вздовж характеристик. Розв’язок в точці буде дорівнювати значенню функції з попереднього шару у точці (див. рис. 1.9):
.
Для того щоб побудувати схему, потрібно виразити величину через значення функції у сусідніх вузлах за допомогою інтерполяції.
Метод різниць проти потоку
Лінійна інтерполяція по сусідніх вузлах
- опорні вузли беруться, як на рисунку
.
Похибка апроксимації
.
Проте схема є точною при
коли .
Розглянемо рівняння диференціального наближення (або модифіковане рівняння). Для цього підставимо в скінченно-різницеву схему розкладення у ряд Тейлора в околі точки для функції, , яка збігається з чисельним розв’язком у вузлах сітки
Оскільки, , то , крім того,
,
оскільки
,
у результаті одержуємо диференціальне наближення
.(1.119)
Видно, що при числах Куранта, менших за одиницю, наявна схемна в'язкість і дисперсія. Дисперсійне співвідношення для цього рівняння має вигляд
.
Фазова швидкість
– відставання по фазі, при – випередження.
Центрована за часом неявна схема (Crank-Nicolson Method)