загрузка...
 
1.4.9. Чисельні методи розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса нестисливої рідини
Повернутись до змісту

1.4.9. Чисельні методи розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса нестисливої рідини

Рівняння нерозривності:

.

Рівняння перенесення імпульсу

,     . (1.121)

Рівняння перенесення тепла

,     .   (1.122)

Рівняння Нав’є-Стокса для стисливої рідини утворюють змішану систему гіперболічно-параболічних рівнянь, а для нестисливої рідини еліптично-параболічних. Тому в цих двох випадках використовуються різні чисельні методи розв’язання.

Для розв’язання рівнянь стисливої рідини широко використовуються явні методи розрахунку: методи Дюфорта-Франкела, Лакса-Вендроффа, Мак-Кормака та ін. Використання цих методів для розрахунку нестисливих течій не можливе через обмеження на крок за часом, що накладається умовою Куранта-Фрідріхса-Леві

.

Нестисливість течії приводить до додаткових обчислювальних труднощів: до рівняннь нерозривності входять лише компоненти швидкості. Тому в даному випадку немає прямого зв'язку з тиском, який у разі стисливих течій здійснюється через густину. Для розрахунку тиску потрібно розв’язувати еліптичне рівняння Пуассона разом із рівнянням імпульсів.

Особливості дискретизації рівнянь Нав’є-Стокса

Найчастіше трапляються рівняння перенесення субстанцій, які для нестисливої рідини мають вигляд узагальненого рівняння перенесення:

.                 (*)

Форма запису рівнянь. Для скінченно-різницевої дискретизації можна використовувати як дивергентну форму (*), так і недивергентну форму

,

проте досвід чисельних розрахунків (наприклад, для тестової задачі течії у квадратній каверні) показав, що дивергентна форма запису (*) приводить до точніших результатів.

Замість параметризації вузлів сітки  використовується одновимірна згортка тривимірних координат з використанням позначень, які відповідають сторонам світу (див. рис. 1.10, табл. 1.1).

Система скінченно-різницевих рівнянь (п'ятиточковий шаблон для двовимірного рівняння) записується у вигляді

 для ,

або скорочено

,                   (1.123)

де nb – neighbors, сусідні вузли.

Рисунок 1.10 – Розрахунковий шаблон (Computational molecule)

Таблиця 1.1 – Одновимірні індекси тривимірного розрахункового шаблону

Проінтегруємо узагальнене рівняння перенесення по елементарному об'єму, грані якого проходять через середини відрізків, що з’єднують даний вузол із сусідніми (див. рис. 1.11).

.    (1.124)

Апроксимації поверхневих інтегралів:  – сума по всіх гранях об'єму.

Рисунок 1.11 – Контрольний об’єм

Розглянемо грань e і інтеграл

.

1) Формула прямокутників

– 2-й порядок апроксимації (найпростіша).

2) Формула трапецій

 – 2-й порядок апроксимації.

3) Формула Сімпсона

 – 4-й порядок апроксимації.

Апроксимації об'ємних інтегралів

 2-й порядок апроксимації.

Застосувавши апроксимації за методом прямокутників, одержимо

.

Дифузійні члени

– 2-й порядок апроксимації.

Апроксимації конвективних членів:

Інтерполяція по потоку (Upwind Differencing Scheme)

                        (1.125)

.

– виникає додаткова схемна дифузія.

Лінійна інтерполяція (Central Differencing Scheme):

 -                          (1.126)

2-й порядок апроксимації, але при розв’язанні виникають осциляції через порушення умови монотонності і діагонального переважання при великих значеннях сіткового числа Рейнольдса

.

Квадратична інтерполяція по потоку (QUICK):

          (1.127)

 -

3-й порядок апроксимації, але умови монотонності і діагонального переважання при великих  також не виконуються. Через це виникають проблеми при ітераційному розв’язанні відповідної системи лінійних рівнянь (повільна збіжність), а також нефізичні осциляції.

Крім того, одновимірний розрахунковий шаблон перестає бути 3-точковим, що не дозволяє використовувати метод прогону при розв’язанні.

Уникнути цих труднощів допомагає метод відкладеної корекції (Deferred Correction). Скінченно-різницева апроксимація високого порядку подається у вигляді суми противопотокової схеми і залишку, який виноситься у джерельний член і обчислюється з попередньої ітерації

.            (1.128)

Приклад. Розглянемо рівняння дифузії

,

.

Схема UDS 1-го порядку точності:

, .

Схема QUICK 1-го порядку точності:

,

,

останній вираз можна записати у вигляді

        (1.129)

Метод відкладеної корекції реалізується у вигляді ітераційного процесу

      (1.130)

на кожній ітерації використовується метод прогону, рахунок за яким стійкий.

Ітераційні алгоритми сумісного розв’язання рівнянь перенесення імпульсу і нерозривності: методи проекції

         (1.131)

У сім’ї методів корекції тиску проблема вирішується таким чином. Спочатку знаходиться проміжне поле швидкості  з рівняння імпульсів із «старим» тиском

.

Поле швидкості  не задовольняє рівняння нерозривності. Тому на наступному етапі шукаються поправки до поля швидкості і тиск для того, щоб задовольнити це рівняння: .

Підставляючи в (1.131) і в рівняння нерозривності, одержимо рівняння для поправок швидкості і тиску

.

Нехтуючи в'язкими і конвективними членами, одержимо

.                           (1.132)

Інтегруючи це рівняння на інтервалі , одержимо

,                            (1.133)

звідки, з урахуванням виразу для дивергенції поправки швидкості одержимо рівняння Пуассона для тиску, розв’язуючи яке знайдемо шукані поправки до швидкості з (1.133).

.

З (1.133) видно, що поправка до швидкості є безвихоровою, оскільки є градієнтом деякого потенціалу, який пропорційний до тиску. Методи подібного типу, в яких на першому кроці обчислюється поле швидкості, що не задовольняє рівняння нерозривності, а потім з нього виділяється соленоїдна складова («соленоїдна проекція»), називаються методами проекції. Наближенню (1.132) можна додати цікаву фізичну інтерпретацію. Рівняння (1.132) збігаються з рівняннями теорії імпульсного руху рідини (наприклад, у результаті удару). Такі рівняння випливають з повних рівнянь Нав’є-Стокса в межах дуже малої тимчасової тривалості удару, тобто коли

,

де величина  називається імпульсом тиску.

Таким чином, наближення (1.132) відповідає короткочасному гідравлічному удару, який «повертає рідину в нестисливий стан».

Метод SIMPLE

Розглянемо реалізацію цієї ідеї в популярному методі SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation)

            Скінченно-різницеве рівняння імпульсів, яке необхідно розв’язати на n+1 кроці за часом, має вигляд

.       (1.134)

Рівняння розв'язується ітераціями, які називатимемо зовнішніми ітераціями (на відміну від внутрішніх ітерацій при розв’язанні системи лінійних рівнянь).

На першому кроці m-ї зовнішньої ітерації розв'язується рівняння для проміжного поля швидкості

,

потім шукається така поправка до нього, яка задовольняла б скінченно-різницеве рівняння нерозривності, тобто

.                     (1.135)

Рівняння для відповідних поправок швидкості і тиску випливає з (1.134):

.           (1.136)

У методі SIMPLE (Patankar, Spalding, 1972) сумою в лівій частині нехтує, після чого виходить наближений розв’язок

,                       (1.137)

підставивши який в (1.135), одержимо рівняння Пуассона для поправки тиску

.             (1.138)

Як показали чисельні експерименти, обчислену звідси поправку тиску необхідно піддати нижній релаксації так, що підсумкові вирази для тиску і швидкості мають вигляд

 де .(1.139)

Рекомендоване значення  становить близько 0.8 (Patankar, 1980). Рівняння для проміжної швидкості також рекомендується вирішувати за допомогою оригінального варіанта методу нижньої релаксації, запропонованого Патанкаром, в якому замість рівняння (1.134) розв’язується

,(1.140)

де  – коефіцієнт нижньої релаксації, оптимальне значення якого становить (Ferziger,Peric, 1996)

.                               (1.141)

Фактично, рівняння (1.140) можна одержати з (1.134) додаванням в ліву частину похідної за псевдочасом, причому крок за псевдочасом дорівнює

.                       (1.142)

Рівняння (1.140) при цьому розв'язується неявним методом до встановлення, що підвищує стійкість ітераційного процесу.

Метод SIMPLEС

«Слабким місцем» наведеного вище рівняння для поправки тиску (1.138) є нехтування сумою в лівій частині (1.136). З погляду розглянутої вище аналогії дії поправки тиску з гідравлічним ударом таке нехтування означає, що швидкість від дії імпульсу поправки тиску змінюється тільки в точці P, тоді як для сусідніх точок ми вважаємо . В той самий час гідравлічний удар діє на весь об'єм рідини відразу, тому швидкість у сусідніх вузлах повинна змінюватися на величину такого ж порядку. Виходячи з цих міркувань, можна уточнити наближення (1.137), взявши в (1.136) . Тоді замість (1.137) одержимо

.                (1.143)

Рівняння Пуассона для поправки тиску (5) набуває вигляду

.       (1.144)

Даний метод відомий як SIMPLEC (SIMPLE Corrected) (Van Doormal, Raithby, 1984). Він має швидшу збіжність при розв’язанні стаціонарних задач. З порівняння (1.141),(1.142) із співвідношеннями (1.137) – (1.139) методу SIMPLE видно, що метод SIMPLEC еквівалентний методу SIMPLE з коефіцієнтом релаксації тиску, що дорівнює

.                         (1.145)

Неважко перевірити, що для всіх консервативних схем повинне виконуватися співвідношення на коефіцієнти різницевої схеми

,                       (1.146)

де –  внесок від нестаціонарного члена. Для повністю неявної схеми, наприклад, , тоді рівняння для поправки тиску в методі SIMPLEC набуває такого вигляду, що збігається з рівнянням (1.136)

.

Для стаціонарних задач  і необхідно розв’язувати рівняння для швидкості з нижньою релаксацією (1.140). У цьому випадку

,

і вираз (1.143) збігається з наведеним вище співвідношенням (1.141), що можна розглядати як його обгрунтування.



загрузка...