загрузка...
 
3.3. Графічна характеристика похибок
Повернутись до змісту

3.3. Графічна характеристика похибок

Вивчення закономірностей, яким підпорядковуються випадкові похибки, можна зробити наочними, якщо побудувати діаграму, що показує, як часто отримуються ті або інші результати вимірювання. Така діаграма називається гістограмою розподілу результатів вимірювання.

Подпись: 
Рисунок 3.1 - Гістограма
Гістограма – східчаста діаграма, що показує, як часто при вимірюваннях виникають результати, що потрапили у той або інший інтервал ?x між найменшим xmin і найбільшим xmax з обмірюваних значень величини x. Гістограму будують у таких координатах: по осі абсцис відкладають вимірювану величину x, по осі ординат – ?n/n?x (рис.3.1). Тут n – повна кількість проведених вимірювань, ?n – кількість результатів, що потрапили в інтервал [x, x+?x] .

Відношення ?n/n є часткою результатів, що попали в зазначений інтервал. Воно має сенс імовірності потрапляння результату окремого вимірювання в даний інтервал. Вираз ?n/(n·?x), одержуване після розподілу ?n/n на ширину інтервалу ?x, набуває сенсу щільності ймовірності.

При дуже великій кількості вимірювань (n??) весь діапазон зміни величини x можна розбити на нескінченно малі інтервали ?x, як це робиться в математиці, і знайти кількість результатів ?n у кожному з них. У цьому випадку гістограма перетвориться в плавну криву - графік функції

.                           (3.11)

Таку функцію називають щільністю ймовірності, або розподілом імовірності, іноді – просто розподілом величини x. Розподіл виступає в ролі остаточної характеристики випадкової величини. Закон розподілу можна задати у вигляді функціонального вираження, графіка, таблиці або іншим способом. При будь-якому варіанті завдання встановлюється зв'язок між імовірністю того, що результат однократного вимірювання випадкової величини потрапить у заданий інтервал можливих значень і шириною цього інтервалу.

Подпись: 
Рисунок 3.2 – Гістограми результатів проведених вимірювань
Розподіл містить найбільш повну інформацію про випадкову величину, однак користуватися ним не завжди зручно. Оперуючи результатами проведеного експерименту, замість функції розподілу краще мати звичні числові величини – ними є середнє значення і дисперсія.

На рис.3.2 наведені гістограми, побудовані для різної кількості п вимірювань. На гістограмі (рис.3.2а) для п=5 тільки-но визначається картина розкиду результатів; на гістограмі (рис.3.2б) для п=50 уже проявляється певна закономірність, що стає ще більш виразною на рис.3.2в для п=300.

Гістограми, побудовані за великою кількості вимірювань, дозволяють вивчити закономірності, властиві випадковим похибкам. Гістограма на рис.3.2 в практично симетрична, має вигляд дзвону, положення її максимуму близьке до X. Це означає, що випадкові похибки приблизно з однаковою частотою набувають як позитивних, так і негативних значень; більші похибки трапляються рідше, ніж менші.

Ширина гістограми, що практично не залежить від кількості вимірювань, характеризує зону розсіювання результатів вимірювань, тобто випадкові похибки одиничних (окремих) вимірювань. Вона залежить від приладів, методів і умов вимірювань. Це бачимо з порівняння з гістограмою на рис.3.3, отриманої при тих самих вимірюваннях іншим, більш удосконаленим методом. Гістограма (рис.3.3) також має вигляд дзвону але ширина її в 5 разів менша, ніж на рис.3.2в.

Подпись: 
Рисунок 3.3 - Гістограма результатів проведених вимірювань удосконаленим методом

Необхідно відзначити таку важливу обставину. Гістограми розподілу результатів вимірювання, отримані при вимірюваннях фізичних величин, виконаних за допомогою різноманітних приладів і методів, здебільшого дуже схожі за формою на гістограмах рис.3.2 в і рис.3.3. Вони розрізняються тільки шириною гістограми і положенням максимуму, тобто величиною X. При такому розподілі говорять, що вони підпорядковуються закону Гауса (розподіл Гауса, або нормальний розподіл). У теорії похибок наводиться математичний вираз для розподілу Гауса (нормального розподілу):

,                      (3.12)

де X — істинне значення вимірюваної величини;

? - середня квадратична похибка;

?2 - дисперсія.

Подпись: 
Рисунок 3.4 - Криві нормального розподілу випадкових похибок: 
1 – при ?1; 2 – при ?2=2?
 
Рисунок 3.5 - Основні характеристики кривої нормального розподілу випадкових похибок
На рис.3.4 показані криві 1 і 2 нормального розподілу випадкових похибок, побудованих за формулою (3.12), для двох значень середнього квадратичного відхилення ?, причому в кривій 1 це відхилення у два рази менше, ніж у кривій 2. Криві розподілу симетричні щодо осі ординат, тобто поява рівних за величиною, але протилежних за знаком випадкових похибок має однакову ймовірність, у середній частині криві утворять опуклість, по обидва боки від якої перебувають точки перегину а і b, нижче яких криві стають угнутими, асимптотично наближаючись до осі абсцис. Найбільша ймовірність для обох кривих відповідає випадковій похибці ?c=0. При зростанні похибки з будь-яким знаком імовірність її появи зменшується.

Як бачимо з рис.3.4, криві розподілу 1 і 2 мають різні відстані між точками а і b перегину кривих. Проміжки між цими точками і віссю ординат дорівнюють середньому квадратичному відхиленню ±? результату вимірювання, що характеризує ступінь розсіювання (розкиду) значень випадкових похибок. Чим нижче значення ?, тим менше розсіювання похибок, тому що при цьому майже вся площа під кривою розподілу розміщується поблизу осі ординат, що збільшує ймовірність появи менших і зменшує появу більших похибок. Отже, зменшення ? приводить до підвищення точності вимірювань.

Основні характеристики кривої нормального розподілу випадкових похибок наведені на рис.3.5. Імовірність того, що випадкові похибки не вийдуть за межі (границі) якого-небудь інтервалу, визначається за площею, обмеженої кривою розподілу і цим інтервалом, відкладеним по осі абсцис. Такий інтервал ±? називається довірчим інтервалом, а відповідна йому ймовірність появи випадкової похибки (заштрихована площа) Ф(t) — довірчою ймовірністю.

Довірчий інтервал, що характеризує ступінь відтворюваності результатів вимірювання, може мати різні значення, причому при великому довірчому інтервалі виходить і більша довірча ймовірність. При вимірюванні може задаватися або довірчий інтервал і за ним визначатися довірча ймовірність, або, навпаки, за довірчою імовірністю підраховуватися довірчий інтервал. Таким чином, для характеристики значення випадкової похибки необхідно мати дві величини - довірчий інтервал і довірчу ймовірність.

Функція f(x), що називається щільністю розподілу результатів вимірювання (3.12), має такий сенс: f(x)dx є ймовірність того, що окреме випадково обране значення багаторазово вимірюваної величини виявиться в інтервалі від х до x+dx. З рис.3.4 бачимо, що при зменшенні ? крива нормального розподілу стискується уздовж осі Ох і витягується уздовж осі f(x) (P(?с)). Результати вимірювання групуються навколо істинного значення X і тим тісніше, чим менше ?. Імовірність того, що результат вимірювання потрапить у довірчий інтервал (X-?х, X+?х):

.

Для повноти опису випадкової похибки необхідно вміти зазначати ймовірність Р(k) потрапляння результату вимірювання хi в інтервал будь-якої заданої напівширини ?х, тобто в довірчий інтервал ? (? = ?х):

,                       (3.13)

де ?х зручно виражати через ? і певний множник k:

.                                          (3.14)

У таблиці 3.1 наведені значення цього інтеграла для різних значень ?х = k?, а також визначені теоретично значення Р(k). Імовірність Р(k) змінюється від 0 до 1 при зміні k від 0 до ?. Однак уже при k=2 імовірність Р(2) = 0,95, а при k=3 маємо Р(3) = 0,997. Імовірність 0,997 означає, що з 1000 вимірювань у середньому 997 потраплять в інтервал від X — З? до X + З? і тільки три вимірювання будуть мати відхилення більше 3?. Тому з деякою часткою умовності величину ?х=З?  називають граничною похибкою вимірювання.

Таблиця 3.1 - Значення величини довірчої ймовірності

  або

Довірча ймовірність Р(k)

1

0,68

2

0,95

2,6

0,99

3

0,997

Нерівність (3.13) можна записати в іншому вигляді:

,                                   (3.15)

або

.                                      (3.16)

Цей запис має наступну важливу інтерпретацію. Зробивши одне вимірювання певної величини і одержавши її значення хi, можна стверджувати, що істинне значення величини X перебуває в інтервалі від хi — ?х до хi + ?х з імовірністю Р(k). Інтервал, у якому із заданою ймовірністю Р перебуває істинне значення вимірювальної величини, називається довірчим інтервалом. Відповідна ймовірність Р — довірча ймовірність цього інтервалу. Напівширина довірчого інтервалу є оцінкою похибки результату вимірювання.

Примітка. Імовірність Р іноді називають надійністю.

Якщо в завданні вимірювання задана максимально припустима похибка вимірювання, то зменшити похибку до заданої величини можна, або збільшуючи кількість n вимірювань при незмінній довірчій імовірності, або зменшуючи довірчу ймовірність при тій самій кількості n вимірювань, або збільшуючи n і зменшуючи Р одночасно.

На практиці прийнято обирати Р такою, що дорівнює 0,7 для всіх видів вимірювань. Клас точності засобу вимірювання визначають на заводі-виробнику за умови, що Р=0,7.



загрузка...