3.3.1. Безперервний перехід

3.3.1. Безперервний перехід

Проста картина безперервного переходу, який прийнято відносити до другого роду, реалізується за умови, що характерний час параметра порядку  не залежить від його значення Q. Використання системи рівнянь (3.20) – (3.22) дозволяє подати самоузгоджену картину переходу між різними режимами реалізації системи спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації машинобудівного виробу виробничо–технічного призначення.

Розглянемо три випадки немонотонної поведінки такої системи. Розв’язання за допомогою комп’ютерної програми наведено в додатку Д.

Випадок .

На початку дослідження немонотонної поведінки системи спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації розглянемо випадок, коли найменше значення має час релаксації виробничої функції підсистеми виготовлення, яка наслідує зміни виробничої функції підсистеми експлуатації та зміни виробничої функції підсистеми проектування. У результаті коливаннями сполученого поля можна знехтувати, вважаючи у (3.21) . Цей підхід дає зв’язок

,                                                    (3.28)

урахування якого в рівняннях (3.20) і (3.22) приводить до нової

системи рівнянь:

                                                    (3.29)

.                                               (3.30)

Поведінка цієї системи рівнянь задається вихідним рівнем конструкторсько–технологічної інформації , який визначає ступінь нерівноваги системи:

,                                                   (3.31)

і співвідношенням характерних часів зміни параметрів F і Q:

.                                                  (3.32)

У загальному випадку стандартний аналіз   системи рівнянь (3.29), (3.30) показує, що її фазовий портрет характеризується наявністю двох особливих точок  та  із координатами ,  та ,  відповідно (тут  визначено рівнянням (3.26)). Таким чином, у точці D отримуємо низькоефективну реалізацію спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації, яка характеризується нульовою виробничою функцією ФПСВj, а в точці O – високоефективну реалізацію, де зазначена функція . Показники Ляпунова для цих точок визначаються такими рівняннями:

,                           (3.33)

.                                               (3.34)

Тут показано, що у передкритичній області (), де інтенсивність зовнішньої дії менша від критичного значення , точка D являє собою стійкий вузол, а точка O відсутня. У результаті досліджувана система переходить до режиму неефективної реалізації D згідно з фазовим портретом, наведеним на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Фазові портрети низькоефективної реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації ():

a) ; б) ; в)

Тут і далі штрихова лінія вказує точки, в яких фазові траєкторії мають вертикальну дотичну, штрихпунктирна – горизонтальну.

Зростання параметра (3.32) приводить до закручування траєкторій навколо точки D, що свідчить про тенденцію до коливального режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації, яка виявляється зі збільшенням інерційності зміни керуючого параметра порівняно з параметром порядку.

Як бачимо із фазового портрета, наведеного на рис. 3.4, ця тенденція реалізується повною мірою при переході до області, де інтенсивність зовнішньої дії перевищує критичне значення .

Тут точка D трансформується в сідло і з’являється додаткова точка O, що відповідає ефективному режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації. Для значень параметра d, обмежених величиною

,                                           (3.35)

ця точка являє собою стійкий вузол, а з його зростанням до значень  – стійкий фокус. У першому випадку ефективний режим реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації досягається за рахунок монотонної зміни інтенсивності зовнішньої дії та виробничої функції ФПСИj, у другому – реалізується режим загасальних коливань цих величин.

Проведені дослідження показують, що для  у закритичній області  виникає коливальний режим, що характеризується частотою

                               (3.36)

та коефіцієнтом загасання

.                                          (3.37)

Зі зростанням параметра нерівноваги в інтервалі  величини w та a зростають, а критичне значення відношення характерних часів зміни параметрів F і Q (3.35) зменшується. Іншими словами, нерівноважність системи сприяє появі загасальних коливань. Як бачимо з рис.3.4, найбільшою мірою прояву коливального режиму сприяє зростання параметра

Рис. 3.4. Фазові портрети режиму ефективної реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації ():

a); б); в)

Розглянемо детально перехід системи до режиму ефективної реалізації, наведений на рис. 3.4 в. Зменшення виробничої функції Q–ФПСВj приводить до збільшення виробничої функції F–ФПСпрj, зростання якої викликає подальше збільшення зазначеної виробничої функції Q, що зменшує згодом F. Такого роду коливальний режим насправді практично не трапляється.

Зворотна межа  відповідає адіабатичному наближенню, що являє собою стандартну картину переходу. Згідно з фазовими портретами на рис. 3.4 а зменшення параметра  приводить до збігання всіх траєкторій до ділянки MOD, розміщення якої не залежить від елементів мікрорівня системи. Із рис. 3.4 а бачимо, що до потрапляння на цю ділянку виробнича функція F–ФПСпрj швидко змінюється, а потім повільно еволюціонує за MOD.

На рис. 3.5 наведені часові залежності руху конфігуративної точки за фазовими траєкторіями. Як бачимо з рис. 3.5 а, конфігуративна точка швидко рухається за траєкторією, розміщенною за межами ділянки MOD, а при потраплянні на неї суттєво сповільнюється, причому ефект уповільнення виявляється тим сильніше, чим менший параметр неадіабатичності d.

З формальної точки зору ділянка MOD відповідає притягувальній множині, яку прийнято позначати як русло великої ріки (в англ. мові – mainstream)  .

Випадок .

Розглянемо тепер випадок, коли виробнича функція Q –ФПСВj змінюється настільки швидко, що встигає наслідувати зміни виробничої функції G–ФПСВРj та зміни виробничої функції F–ФПСпрj. Тоді в рівнянні (3.20) можна припустити, що  це приводить до зв’язку

.                                                      (3.38)

Рис. 3.5. Часова залежність шляху s, пройденого конфігуративною точкою за фазовою траєкторією:

а) фазовий перехід другого роду (крива 1 відповідає фазовому портрету на

рис. 3.4 а; 2 – на рис. 3.6 а; 3 – на рис. 3.7 а; 4 – на рис. 3.7 в);

б) – фазовий перехід першого роду (крива 1 відповідає фазовому портрету на рис. 3.9 а; 2 – на рис. 3.10 а; 3 – на рис. 3.11 а; 4 – на рис. 3.11 в)

Підстановка (3.38) у рівняння (3.21), (3.22) дає нову систему:

,                                (3.39)

,                     (3.40)

де введене співвідношення характерних часів

.                                       (3.41)

Аналогічно попередньому випадку фазовий портрет визначається особливими точками  та , де величина

                                                       (3.42)

задає стаціонарне значення виробничої функції ФПСВРj. Показники Ляпунова для цих точок мають вигляд:

,                            (3.43)

.                             (3.44)

Як і раніше, точка D відповідає неефективному режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації. При  вона являє собою стійкий вузол, а при  - сідло, для якого, незважаючи на значення інтенсивності зовнішньої дії , виробничі потужності не завантажені. Точка O відповідає ефективній реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації. Виробнича функція ФПСВрj набуває кінцевого стаціонарного значення в закритичній області , де точка О є притягувальним вузлом для малих значень параметра t і стійким фокусом, якщо величина (3.41) перевищує критичне значення:

.                                                    (3.45)

Відповідні значення частоти коливань та декременту загасання мають такий вигляд:

,                                      (3.46)

.                                                        (3.47)

Зі зростанням рівня науково–технічного прогресу Fe критичне значення (3.45) зменшується, частота w зростає, а декремент a залишається незмінним.

Рис. 3.6. Фазові портрети режиму ефективної реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації ():

a); б); в)

Проведений аналіз та вигляд фазових портретів (рис. 3.6) показують, що для великих значень t, коли виробнича функція F–ФПСпрj змінюється набагато повільніше за виробничу функцію G, система набуває режиму загасальних коливань (рис. 3.6 в). Із зменшенням величини t до значень  досягається повільний режим науково–технічного розвитку (еволюції) (рис. 3.6 a). Подібно до попереднього випадку для адіабатичної межі  еволюція системи набирає універсального характеру, що проявляється у наявності ділянки MOD (рис. 3.6 a). Потрапляючи до цієї ділянки, система повільно рухається до стаціонарної точки O, що відповідає ефективному режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації.

Випадок .

Оскільки тут найшвидше змінюється виробнича функція F–ФПСпрj, то, припускаючи, що у (3.22) , отримаємо зв’язок

.                                                      (3.48)

При цьому рівняння (3.20) та (3.21) набирають такого вигляду:

,                                                       (3.49)

,                                   (3.50)

де введене співвідношення характерних часів

.                                               (3.51)

Рис. 3.7. Фазові портрети для режиму ефективної реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації ():

a); б) ; в)

Фазовий портрет такої системи (рис. 3.7) має особливі точки  та , остання з яких реалізується тільки для режиму ефективної реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації за умови, що інтенсивність зовнішньої дії .

Відповідні показники Ляпунова визначаються рівняннями:

,                     (3.52)

.                          (3.53)

За умови  точка D являє собою стійкий вузол, що відповідає неефективному режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації. З переходом до закритичної області  трансформується в сідло. Якщо параметр s належить інтервалу , де

,                     (3.54)

точка O, яка відповідає ефективному режиму реалізації спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації, являє собою притягувальний фокус; за межами зазначенного інтервалу – притягувальний вузол.

Характерні значення частоти

                                (3.55)

та коефіцієнта загасання

                                                                   (3.56)

будуть порівнянними для всіх значень Fe та s. Це означає, що на відміну від попередніх випадків тут коливальний режим практично не виявляється.

Згідно із фазовим портретом, наведеним на рис. 3.7, універсальність кінетичної поведінки системи спільної взаємодії процесів проектування, виготовлення та експлуатації виявляється як для , так і для . У першому випадку перехід до універсальної ділянки відбувається за рахунок швидкої зміни виробничої функції –ФПСВрj за умов практично незмінної виробничої функції –ФПСВj (рис. 3.7 a). В іншому випадку спостерігається зворотна картина: виробнича функція –ФПСВj змінюється дуже швидко, а виробнича функція –ФПСВрj практично не змінюється (рис.3.7в). За умов  універсальність виявляється тільки для малих початкових значень однієї із виробничих функцій (рис. 3.7 б). На відміну від попередніх випадків універсальна ділянка на рис. 3.7 має не спадний, а зростаючий характер.