2.3 Формула Ціолковського щодо ідеальної швидкості руху ракети
К. Е. Ціолковський своєю відомою формулою для ідеальної швидкості ракети відповів на запитання: за допомогою яких технічних пристроїв можливе досягнення космічних швидкостей і виведення корисного вантажу (бойової частини) на будь-яку із розглянутих траєкторій.
Ідеальною швидкістю (швидкістю Ціолковського ) називають максимальну швидкість, яку може отримати ракета, що здійснює вертикальний політ у безповітряному просторі, за відсутності сили тяжіння після повної витрати ракетного палива.
Ціолковський отримав формулу визначення ідеальної швидкості, скориставшись рівнянням Мещерського, для поступального руху тіл змінної маси:
. (2.21)
Ураховуючи, яким чином визначена ідеальна швидкість (при ідеальних умовах), рівняння Мещерського без урахування набуде такого вигляду:
, (2.22)
де – тяга ракетного двигуна.
У свою чергу, тяга реактивного двигуна визначається:
, (2.23)
де – питомий імпульс тяги [м/с]; – масова витрата палива [кг/с]. Знак «мінус» вказує на те, що з часом унаслідок роботи двигуна маса ракети зменшується.
Розглянемо початкові та кінцеві умови польоту, а також деякі характеристики самої ракети, у тому числі й конструктивні (рис. 2.9).
Сучасна ракета складається з тисяч деталей, кожна з яких виконує свою специфічну роль. Але з точки зору механіки розгону ракети до необхідної швидкості всю початкову масу ракети можна поділити на дві частини (рис. 2.9):
– маса робочого тіла (маса палива);
– кінцева маса (маса конструкції), що залишається після витрати робочого тіла.
Рисунок 2.9 – Схема конструкції одноступеневої
і двоступеневої ракети
Кінцеву масу часто називають «суха маса», тому що робоче тіло у більшості випадків є рідинним паливом.
У початковий момент польоту при швидкість ракети , а стартова маса (рис. 2.9 а).
Відношенняназивають числом Ціолковського. Цю залежність використовують для визначення швидкісних можливостей ракети.
Наприкінці польоту ракети при після повної витрати палива швидкість ракети стане максимально можливою (ідеальною) , а маса ракети буде складатися тільки з маси конструкції ракети .
З урахуванням цього рівняння (2.20) запишемо у вигляді диференціального рівняння
, (2.24)
де .
Після скорочення правої та лівої частини рівняння на dt та перенесення m до правої частини рівняння отримаємо:
. (2.25)
Інтегруючи отримане рівняння у межах швидкості від 0 до , а масу від до , отримаємо залежність для визначення ідеальної швидкості (швидкості Ціолковського) одноступеневої ракети:
, (2.26)
де - коефіцієнт наповнення ракети паливом.
Із аналізу формули Ціолковського можна зробити висновок, що ідеальна швидкість залежить від енергетичної та конструктивної досконалості двигуна () і конструктивної досконалості ракети (). Незважаючи на те що формула (2.26) дає приблизне значення швидкості, вона дозволяє проводити дослідження шляхів збільшення швидкості і відповідно дальності польоту ракети. Із рівняння (2.26) видно, що найбільша (ідеальна) швидкість польоту ракети досягається значеннями питомого імпульсу тяги і коефіцієнта наповнення ракети паливом. При цьому зміна питомого імпульсу тяги більше впливає на величину швидкості ракети порівняно зі зміною коефіцієнта наповнення ракети паливом. Ось чому при розробленні ракет у першу чергу намагаються збільшити ракетного двигуна. При збільшенні кількості палива в ракеті, збільшуються її розміри і маса, що призводить до суттєвих економічних затрат і ускладнення умов експлуатації (збереження) ракети.
Для одноступеневих ракет коефіцієнт наповнення ракети паливом знаходиться у межах 0,8 – 0,92 і фізично визначає, що одноступенева ракета на 80 – 92 % складається із палива.
За допомогою формули Ціолковського є можливість розрахувати ідеальну швидкість ракети, а дійсна швидкість внаслідок дії сили тяжіння і опору повітря (гравітаційних та аеродинамічних сил) буде менше на величину :
, (2.27)
де – сумарне зниження швидкості внаслідок дії гравітаційних та аеродинамічних сил.
Для одноступеневих ракет зниження швидкості становить 18–25 % від ідеальної швидкості, тобто:
.
На даному етапі розвитку ракетної техніки досягти космічних швидкостей за допомогою одноступеневих ракет практично неможливо. Тому для вирішення цього питання використовують багатоступеневі ракети (ракетні потяги). До визначеного часу працює 1-ша ступінь ракети, потім вона відокремлюється (відбувається відокремлення зайвої маси конструкції) та починає працювати друга ступінь (рис. 2.9 б).
Швидкість польоту багатоступеневої ракети складається зі швидкостей окремих ступенів:
(2.28)
Із цієї залежності можна отримати формулу для визначення швидкості багатоступеневої ракети з урахуванням зменшення швидкості на політ в атмосфері та подолання сили тяжіння (дійсну швидкість багатоступеневої ракети):
(2.29)
Якщо на кожній ступені багатоступеневої (двоступеневої) ракети встановлено двигуни з однаковими енергетичними характеристиками, то в цьому випадку формулу (2.29) можемо переписати таким чином: