загрузка...
 
Тема 6 КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА
Повернутись до змісту

Тема 6 КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

Завдання 1 Прочитайте і перекладіть рідною мовою слова і словосполучення до теми.

Дійсне число, (уявна) частина числа, спряжені числа, додати числа, відняти числа, помножити числа, поділити числа, одночлен, многочлен, спільний множник, підносити до степеня, добувати корінь, площина, геометричне зображення, вісь, піввісь, від’ємна піввісь, ототожнення.

Завдання 2 Визначте, за допомогою яких суфіксів утворені іменники. Складіть з ними словосполучення.

Ототожнити – ототожнення; визначити – визначення; добути (добувати) – добування; піднести (підносити) – піднесення; порівняти – порівняння; переставити – перестановка.

Завдання 3 Визначте склад слів і їх значення. Складіть з даними словами речення.

Одночлен, многочлен, однозначний, двозначний, багатозначний, піввісь.

Завдання 4 Підберіть антоніми до слів.

Окремо, поступово, від’ємний, корисний, спільний, постійний, дійсний.

Завдання 5 Прочитайте текст, поясніть поняття: алгебраїчна форма комплексного числа, дійсна частина, уявна частина.

Текст 1

Поняття комплексного числа

Так називають числа вигляду а + bi, де а і b – дійсні числа, а i – число особливого типу, квадрат якого дорівнює –1, тобто i2 = = –1.

Вираз а + b називають алгебраїчною формою комплексного числа. Число а називають дійсною частиною, число b – уявною частиною числа а + b.

Два комплексні числа а + b, с + d називають рівними, якщо а = с, b = d: (а + di = с + di) « (а = с, b = d).

Комплексні числа дорівнюють нулю, якщо дорівнюють нулю його дійсна і уявна частини: (а + bi = 0) « (а = 0,b = 0).

Якщо дано комплексне число ? = а + bi, то число а – bi, що відрізняється від ? тільки знаком уявної частини, називають числом, спряженим числу ?, і позначають ?.

Дії над комплексними числами виконуються за такими самими правилами, що й над многочленами, при цьому i2 замінюють на –1.

Завдання 6 Відповідайте на запитання.

1 Які комплексні числа називаються рівними?

2 Коли комплексне число дорівнює нулю?

3 Які комплексні числа є спряженими?

Завдання 7 Прочитайте текст 2. Скажіть, які дії можна виконувати над комплексними числами?

Текст 2

Дії над комплексними числами

Арифметичні дії над комплексними підпорядковуються тим самим законам, що й дії над дійсними числами.

Щоб додати два комплексні числа, потрібно додати окремо їх дійсні і уявні частини:

(а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i.

Наприклад: (2 + 3i) + (4 + 8i) = (6 + 11i).

При цьому перестановка комплексних чисел не впливає на їх суму: (а + bi) + (с + di) = (с + di)+ (а + bi). Аналогічно й при додаванні трьох і більше комплексних чисел.

При відніманні одного комплексного числа від іншого необхідно відняти окремо їх дійсні й уявні частини:

(а + bi) – (с + di) = (а – с) + (b – d)i.

При множенні перемножуються дійсні з дійсними, уявні з уявними і дійсні з уявними:

(а + bi)(с + di) = (ас – bd) + (bс + ad)i.

При діленні одного комплексного числа на інше обидві частини дробу помножуються на спільний множник (у даному випадку (с – di) і виходить те, що ми маємо після знаку рівності:

; (с2 + d2 ? 0).

Крім того, комплексні числа можна підносити до степеня, добувати корінь. При піднесенні до степеня користуються формулою бінома Ньютона. А квадратним коренем з комплексного числа називають комплексне число, квадрат якого дорівнює даному комплексному числу.

Завдання 8 Відповідайте на запитання.

1 За якими правилами виконуються дії над комплексними числами?

2 Як правильно додати два комплексні числа? А три?

3 Що потрібно зробити при відніманні?

4 Як помножити одне комплексне число на інше?

5 Як поділити одне комплексне число на інше?

6 Що використовують при піднесенні комплексного числа до степеня?

Завдання 9 Прочитайте текст 3, порівнюючи його зміст з рисунком.

Текст 3

Геометричне зображення комплексних чисел

На площині виберемо систему декартових координат. Комплексне число (а, b) = а + bi зіставимо з точкою М (а, b) цієї площини з координатами (а, b). Якщо b = 0, то отримаємо дійсне число, яке зображається точкою на осі Ох. Унаслідок цього вісь Ох називають дійсною віссю (точками осі абсцис зображаються дійсні числа). Якщо а = 0, то отримуємо уявне число bi, яке зображується точкою ? (0, b), що лежить на осі Оу. З цієї причини вісь ординат називають уявною (точками цієї осі зображуються уявні числа).

 

 

Зазначимо, що уявна одиниця i зображується точкою (0, 1), що розташована на додатній півосі ординат і відстоїть від початку координат на відстані, що дорівнює одиниці. Число (–i) зображується на осі ординат точкою (0, 1).

Будь-яке комплексне число ? = (а, b), де а ? 0, b ? 0, зображується точкою, яка не лежить на осях координат. І, навпаки, будь-якій точці М (а, b) площини відповідає комплексне число (а, b) = а + bi. Таким чином, між множиною комплексних чисел і множиною точок на площині встановлена взаємно однозначна відповідність. Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, називається комплексною площиною.

 

Завдання 11 Відповідайте на запитання.

 

1 Які числа зображуються на осі абсцис?

2 Які числа зображуються на осі ординат?

3 Де зображується уявна одиниця i? А число (–i)?

4 Як зображується комплексне число, якщо а ? 0, b ? 0?

5 Що відповідає будь-якій точці М (а, b) площини?

6 Яка відповідність встановлюється між множиною комплекс-них чисел і множиною точок на площині?

7 Як називається така площина?

 

Завдання 12 Прочитайте текст 4. Скажіть, чим він відрізняється від попередніх текстів?



загрузка...