§3 Прискорення. Визначення швидкості тіла за його прискоренням. Швидкість та координати тіла під час рівноприскореного руху [1]

§3 Прискорення. Визначення швидкості тіла за його прискоренням. Швидкість та координати тіла під час рівноприскореного руху [1]

1. Щоб охарактеризувати зміну швидкості частинки з часом, використовується величина

            ,           (3.1)

яка називається прискоренням частинки. Взявши до уваги визначення швидкості, можна написати

            .         (3.2)

Отже, прискорення можна визначити як першу похідну швидкості за часом або як другу похідну радіус-вектора за часом.

Підставимо у формулу (3.2) радіус-вектор, який виражений через орти та координати матеріальної точки . Візьмемо до уваги, що  є постійними векторами, й отримаємо

            .    (3.3)

Разом з тим прискорення, як і будь-який інший вектор, можна виразити через його проекції:

            .

Порівняння цього виразу з (3.3) дає, що

            .        (3.4)

Таким чином, компоненти прискорення дорівнюють другим похідним відповідних координат за часом.

2. Знайдемо швидкість  та радіус-вектор  матеріальної точки в момент часу  за відомим у кожний момент часу вектором прискорення , початковою швидкістю  та початковим радіус-вектором , які мало тіло в момент часу .

Використовуючи визначення прискорення (3.1), можемо записати

            .

Далі проінтегруємо праву і ліву частини цього співвідношення. При цьому візьмемо до уваги, що в момент часу  швидкість мала значення , а в момент часу  швидкість мала значення  

            .

Тут також перепозначили в підінтегральному виразі  на  (визначений інтеграл від позначення змінної інтегрування не залежить). Далі отримуємо шукану залежність швидкості тіла від часу

            .          (3.5)

Для знаходження радіус-вектора  матеріальної точки в момент часу  використаємо визначення швидкості . Звідси

            .

Далі аналогічно як і в попередньому випадку інтегруємо праву і ліву частини цього співвідношення. Візьмемо до уваги, що в момент часу  радіус-вектор мав значення , а в момент часу  – , і отримуємо

            .           (3.6)

Таким чином, отримали формули (3.5) і (3.6), які дозволяють знайти швидкість та радіус?вектор матеріальної точки в довільний момент часу за відомою залежністю прискорення від часу .

3. Рівноприскореним рухом називають такий рух, коли вектор прискорення тіла в будь-який момент часу має одне і те саме значення як за модулем, так і за напрямком ().

Знайдемо, як змінюються з часом швидкість та радіус-вектор тіла при рівноприскореному русі. Для розв’язання цієї задачі використаємо формули (3.5) та (3.6). Для спрощення математичних формул візьмемо, що .

Зі співвідношення (3.5) знаходимо швидкість при рівноприскореному русі

            .       (3.7)

Тут при інтегруванні використали, що для рівноприскореного руху . Далі отриману швидкість (3.7) підставляємо в (3.6) і знаходимо шуканий радіус-вектор

            .     (3.8)

Як правило, використовують формули (3.7), (3.8) не у векторній формі, а в скалярній. Спроектуємо ці формули, наприклад, на вісь  і отримаємо

            , .  (3.9)