§25 Момент інерції циліндра (диска) відносно осі симетрії [4]

§25 Момент інерції циліндра (диска) відносно осі симетрії [4]

1. З визначення моменту інерції

                        (25.1)

випливає, що ця величина є адитивною. Це означає, що момент інерції тіла відносно деякої осі дорівнює сумі моментів інерції частин тіла відносно тієї ж осі. З співвідношення (25.1) випливає також, що момент інерції тіла відносно різних осей буде різним.

Зазначимо, що вираз (25.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів  можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу цього виразу за умови, що всі  прямують до нуля. Тобто суму в (25.1) потрібно замінити інтегруванням:

            .         (25.2)

Нарешті, якщо ми візьмемо до уваги визначення густини неоднорідного тіла , то отримаємо формулу для моменту інерції твердого тіла

            ,            (25.3)

де  – густина тіла в точці, яка входить в об’єм ,  – відстань цього об’єму до осі обертання, відносно якої обчислюється момент інерції.

2. Обчислення інтеграла (25.3) являє собою достатньо складне завдання. Справа значно спрощується у випадку однорідних осесиметричних тіл. Як приклад, знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі  (рис. 25.1).

Розіб'ємо циліндр на циліндричні шари радіуса , товщини , висоти . Маса такого шару дорівнює  ( – об’єм шару). Всі точки цього шару розміщені від осі  на однаковій відстані . Тому момент інерції такого циліндричного шару дорівнює

            .

Проінтегруємо цей вираз за змінною  в межах від  до  ( – радіус циліндра) і отримаємо момент інерції однорідного циліндра відносно його осі:

            , тобто       (25.4)

( – маса циліндра). Відзначимо, що отриманий вираз (25.4) не залежить від висоти циліндра . Отже, формула (25.4) визначає й момент інерції тонкого диска відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через його центр.