§27 Теорема Гюйгенса-Штейнера [7]

§27 Теорема Гюйгенса-Штейнера [7]

1. Знайдемо зв'язок між моментами інерції тіла відносно двох різних паралельних осей. Вважаємо, що ці осі перпендикулярні до площини рисунка й перетинають цю площину в точках  й  (див. рис. 27.1). Будемо називати ці вісі осями  й . Розіб'ємо уявно тіло на елементарні маси . Позначимо радіус-вектор, який проведено в площині рисунка від точки  до елементарної маси  через , а від точки  до  – через . Зрозуміло, що на рис. 27.1 зображено випадок, коли елементарна маса  лежить у площині рисунка. Тоді , де . Тому . Далі, використовуючи визначення моменту інерції тіла, знаходимо момент інерції тіла відносно осі :

            .      (27.1)

Проаналізуємо доданки, які знаходяться у правій частині співвідношення (27.1). Перший інтеграл праворуч є моментом інерції відносно осі  . Останній інтеграл праворуч у відповідності з визначенням центра мас можна подати у вигляді , де  – радіус-вектор центра мас  тіла відносно осі  (більш точно,  є компонентою радіуса-вектора центра мас, яка паралельна площині рисунка),  є масою тіла. Таким чином,

            .   (27.2)

Припустимо, що вісь  проходить через центр мас  тіла (точки  й  збігаються). Тоді , і попередня формула спрощується, набираючи вигляд

            .    (27.3)

Це важливе співвідношення називається теоремою Гюйгенса-Штейнера. Момент  інерції відносно довільної осі  дорівнює сумі моменту інерції відносно осі , яка паралельна осі  й проходить через центр мас тіла , і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.