§47 Закон збереження імпульсу в спеціальній теорії відносності. Релятивістське рівняння динаміки [4]

§47 Закон збереження імпульсу в спеціальній теорії відносності. Релятивістське рівняння динаміки [4]

1. Згідно принципу відносності Ейнштейна усі закони природи, в тому числі й закон збереження імпульсу, повинні бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Перевіримо, чи є інваріантним відносно перетворення Лоренца закон збереження імпульсу у вигляді, у якому він був сформульований у ньютонівській механіці.

Для цього розглянемо абсолютно непружне центральне зіткнення двох однакових частинок маси . При зазначених на рис. 47.1 умовах сумарний імпульс частинок зберігається в системі  (до й після зіткнення він дорівнює нулю). У цій системі компоненти швидкостей частинок дорівнюють ,. Зрозуміло, що після зіткнення швидкості частинок у системі  будуть дорівнювати нулю.

Перейдемо в систему . Відповідно до формули додавання швидкостей, яка була отримана на базі перетворення Лоренца, можемо записати

            ,

            .

Таким чином, до зіткнення проекція на вісь  сумарного імпульсу частинок дорівнює

            .  (47.1)

Після зіткнення частинки у системі  мають швидкість, що дорівнює нулю. Це означає, що їх швидкість відносно системи  дорівнює . Тому проекція сумарного імпульсу після зіткнення дорівнює . Таким чином

            .

Отриманий нами результат означає, що в системі  закон збереження імпульсу, визначеного як , не виконується. Тільки за умови, що швидкості частинок набагато менші , відмінністю виразу (47.1) від  можна знехтувати. Звідси випливає, що визначення імпульсу у вигляді  є придатним тільки за умови, що . Для швидкостей порівнянних зі швидкістю світла у вакуумі, імпульс повинен бути визначений якось інакше, причому при  це новий вираз для імпульсу повинен переходити в ньютонівський .

2. Виявляється, для того щоб закон збереження імпульсу був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца необхідно:

1. Імпульс  замінити на релятивістський імпульс .

2. Припустити, що частинка має енергію спокою, яка пов’язана з його масою. При цьому також вважати можливим взаємне перетворення маси та енергії.

3. Для того, щоб другий закон Ньютона був інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца його також потрібно змінити

            .    (47.2)

Рівняння (47.2) є релятивістським рівнянням динаміки для матеріальної точки. Аналізуючи (47.2), бачимо, що в релятивістському випадку маса втрачає зміст коефіцієнта пропорційності між прискоренням і силою. Більше того, напрямки сила та прискорення можуть не збігатися. Крім того, на відміну від ньютонівської механіки сила  у релятивістській механіці не є інваріантною (у різних інерціальних системах відліку вона має різні модулі й напрямки).