§55 Барометрична формула [4]

§55 Барометрична формула [4]

1. Відомо, що атмосферний тиск зменшується з висотою. Знайдемо функцію , яка описує залежність тиску від висоти і отримаємо ще одне рівняння стану.

Розглянемо уявно в атмосфері вертикальний стовп із площею поперечного перерізу  (рис. 55.1). Виділимо малий об’єм повітря у цьому стовпі висотою , який розміщено на висоті : . Маса об’єму дорівнює , де  – густина повітря в об’ємі на висоті . Проекції на вертикальну вісь  сил, що діють на цей об’єм такі:  – проекція сили з боку нижніх шарів повітря ( – тиск на висоті ),  проекція сили тиску з боку верхніх шарів повітря ( – тиск на висоті ),  – проекція сили тяжіння повітря досліджуваного об’єму. Зрозуміло, що виділений об’єм повітря знаходиться в стані рівноваги. Це означає, що рівнодійна сила, яка діє на цей об’єм дорівнює нулю

           

або

            .

Звідси отримуємо

            .  (55.1)

При умовах, близьких до нормальних (тобто при тисках порядку атмосфери й температурах, близьких до 0°С), повітря досить добре задовольняє рівняння Менделєєва – Клапейрона. З цього рівняння випливає, що густина ідеального газу, тобто маса одиниці об'єму дорівнює

            . (55.2)

Підстановка цього виразу у формулу (55.1) приводить до рівняння

            .           (55.3)

Тут під  маємо на увазі молярну масу повітря. Розділивши змінні, прийдемо до диференціального рівняння

            .           (55.4)

Щоб проінтегрувати це рівняння, потрібно знати, як змінюється з висотою температура, тобто визначити вид функції  (залежністю  від  можна знехтувати).

Для ізотермічної атмосфери, тобто для випадку, коли температура з висотою не змінюється, інтегрування рівняння (55.4) приводить до співвідношення

           

(маючи на увазі подальші перетворення, ми позначили постійну інтегрування через ). Потенціюючи це співвідношення, прийдемо до формули

            .

Поклавши , отримаємо, що , де  – атмосферний тиск на висоті, яка прийнята за початок відліку висоти .

Таким чином, для ізотермічної атмосфери залежність тиску від висоти описується формулою

            ,  (55.5)

яка називається барометричною формулою.

У дійсності температура атмосфери помітно змінюється з висотою, досягаючи на висоті 10 км значень, на кілька десятків кельвін менших, ніж на поверхні Землі. Однак відносне (порівняно з температурою, яка дорівнює приблизно 300°К) зміна температури з висотою не дуже велика, внаслідок чого формула (55.5) дозволяє визначати досить точно висоту, вимірюючи тиск. Призначений для цієї мети, проградуйований у значеннях висоти барометр називається альтиметром. Такі висотоміри встановлюються, зокрема, на літаках.