§66 Класична теорія теплоємності ідеального газу [4]

§66 Класична теорія теплоємності ідеального газу [4]

1. Молекулярно-кінетична теорія дозволяє знайти теплоємність ідеального газу. Як відомо, молекули ідеального газу не взаємодіють між собою (крім відносно рідких зіткнень молекул одна з одною). Тому внутрішню енергію одного моля ідеального газу можна знайти, помноживши середню енергію однієї молекули  на число молекул в одному молі (сталу Авогадро ). Як відомо, середня енергія однієї молекули дорівнює

            ,

де

                     (66.1)

є сумою поступальних, обертальних та подвоєного числа коливальних ступенів вільності молекули.

Тоді енергія одного моля ідеального газу буде дорівнювати

            .         (66.2)

Тут використали, що універсальна газова стала пов’язана зі сталою Больцмана  .

Відомо, що молярна теплоємність при сталому об’ємі визначається співвідношенням

            .

Підставляємо в цю формулу (66.2) й отримуємо вираз молярної теплоємності ідеального газу при сталому об'ємі

            .     (66.3)

Відповідно до рівняння Майєра

            .         (66.4)

З формул (66.3) і (66.4) випливає, що

            .         (66.5)

Таким чином, значення теплоємностей ,  та сталої адіабати  визначається числом і характером ступенів вільності молекул ідеального газу  (див. формулу (66.1)).

2. Порівняємо теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати.

Розглянемо одноатомні гази. Експеримент для гелію та аргону при  К дає такий результат

            ,     .

Молекула одноатомного газу має лише три поступальні ступені вільності (, , ). Тобто =3. Тоді з формули (66.5) знаходимо теоретичне значення для одноатомних газів

            .

Бачимо, що теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати є дуже близькими, але вони не збігаються між собою.

Розглянемо двоатомні гази. Експеримент для водню, азоту та кисню при  К дає такий результат

            ,   ,     .

Якщо ці молекули вважати двоатомними молекулами з жорстким зв’язком, то вони мають три поступальні  та дві обертальні  ступені вільності (). Тобто =5. Тоді з формули (66.5) знаходимо теоретичне значення для двоатомних молекул з жорстким зв’язком

            .

Бачимо, що і в цьому випадку теоретичні та експериментальні значення сталої адіабати є дуже близькими, але вони не збігаються між собою.

Особливо разючим стає розбіжність між теорією й експериментом, якщо звернутися до рис. 66.1, на якому показана залежність  водню від температури. При низьких температурах двоатомний водень веде себе як одноатомний газ з трьома поступальними ступенями вільності , . При більш високій температурі (кімнатні температури) наче «вмикаються» обертальні ступені вільності й , . При ще більшій температурі «вмикається» ще і коливальна ступінь вільності й , . Класична теорія цю температурну залежність пояснити не може.

Розходження теорії та експерименту пояснюється тим, що ньютонівська механіка стає невірною при застосуванні до об’єктів, розміри яких порівняні з розмірами атомів. Ці об’єкти описуються квантовою механікою. Саме квантова теорія теплоємності повністю узгоджується з експериментом.