§88 Поле електричного диполя [5]

§88 Поле електричного диполя [5]

Електричним диполем називається система двох точкових зарядів  та , відстань  між якими мала у порівнянні з відстанями до тих точок, у яких розглядається поле системи. Орієнтацію диполя в просторі можна задати за допомогою вектора , який проведено від заряду  до заряду . Диполь характеризується дипольним моментом, який за визначенням дорівнює  (). Прикладом диполя може служити молекула. Дипольний момент являє собою важливу характеристику молекули.

1. Знайдемо потенціал електричного поля диполя . Обчислимо потенціал поля в точці , положення якої відносно центра диполя  визначається полярними координатами  й  (див. рис. 88.1). Використовуючи теорему косинусів, неважко знайти відстані від точки  до додатного заряду  та до від’ємного заряду

            ,

            .

Тут використано, що оскільки , то . Тоді для потенціалу в точці  отримуємо

            .    (88.1)

У виразі (88.1) ми знехтували у знаменнику другим доданком через те, що .

При  вираз (88.1) дорівнює нулю. Таким чином, площина, яка перпендикулярна до осі диполя й проходить через його центр, є еквіпотенціальною поверхнею. Це випливає також з того, що точки цієї площини знаходяться на однаковій відстані від протилежних за знаком зарядів, модуль яких однаковий.

З виразу (88.1) випливає, що потенціал поля диполя визначається модулем векторної величини

            ,         (88.2)

яка є дипольним моментом. Для обчислення поля диполя немає необхідності знати  й  окремо; достатньо знати їх добуток, тобто дипольний момент.

З рис. 88.1 випливає, що  є кутом між вектором , тобто моментом диполя , і радіус-вектором , який визначає положення точки  відносно центра диполя. Тому формулі (88.1) можна надати вигляд

            .           (88.3)

2. Знайдемо напруженість електричного поля  диполя. Для цього подамо потенціал диполя (формула (88.3)) у вигляді

                   (88.4)

і використаємо зв’язок електричного поля з потенціалом

            .       (88.5)

Як відомо з математики, оператор набла для полярних координат  має вигляд

            .     (88.6)

Далі підставляємо (88.4) у (88.5) з урахуванням (88.6) і отримуємо

            ,

де

            ,

            .

Орти  та відповідні компоненти вектора напруженості електричного поля зображені на рис. 88.2. Модуль вектора напруженості електричного поля знайдемо, використовуючи, що ,

                (88.7)

Звідси,

            .   (88.8)