§89 Потік вектора. Теорема Гаусса для вектора напруженості електричного поля [9]

§89 Потік вектора. Теорема Гаусса для вектора напруженості електричного поля [9]

1. Поняття потоку вектора є одним з найважливіших понять векторного аналізу. Воно використовується при формулюванні властивостей електричного, магнітного й інших векторних полів.

Спочатку це поняття було введено в гідродинаміці. Розглянемо у полі швидкостей рідини малу площу , яка перпендикулярна до вектора швидкості рідини  (рис. 89.1). Об'єм рідини, що протікає через цю площадку за час , дорівнює . Якщо площадка нахилена до потоку, то відповідний об'єм буде , де  – кут між вектором швидкості  й нормаллю  до площини  (див. рис. 89.1). Об'єм рідини, що протікає через площадку  за одиницю часу, отримаємо діленням цього виразу на . Він дорівнює , тобто скалярному добутку  вектора швидкості  на вектор площі . Одиничний вектор  нормалі до площі  можна провести у двох прямо протилежних напрямках. Один з них умовно береться за додатний. У цьому напрямку й проводиться нормаль . Та сторона площадки, з якої виходить нормаль , називається зовнішньою, а протилежна до зовнішньої – внутрішньою. Якщо поверхня  не є нескінченно малою, то при обчисленні об'єму рідини, що протікає за одиницю часу, цю поверхню потрібно розбити на нескінченно малі  площі , а потім обчислити інтеграл  по всій поверхні .

Вирази типу  або  зустрічаються в найрізноманітніших питаннях фізики й математики. Ці вирази мають сенс незалежно від конкретної фізичної природи вектора . Співвідношення  називають потоком вектора  через поверхню . Виходячи з цього визначення, інтеграл  називають потоком вектора напруженості електричного поля , .

Припустимо, що вектор  можна подати геометричною сумою

            .

Помноживши це співвідношення скалярно на  й проінтегрувавши по поверхні , отримаємо

            ,     (89.1)

де  – потоки векторів  через ту ж саму поверхню. Таким чином, з того факту, що вектори складаються геометрично, випливає, що їх потоки через ту ж саму поверхню складаються алгебраїчно.

2. Перейдемо до доведення найважливішої теореми електростатики – теореми Гаусса. Вона визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню . За додатну нормаль до поверхні  візьмемо зовнішню нормаль, тобто нормаль, яка направлена назовні (рис. 89.2). Припустимо спочатку, що електричне поле створюється одним точковим зарядом . На поверхні  це поле визначається виразом

            . (89.2)

Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли поверхня S є сферою, а точковий заряд q розміщено в її центрі. Потік вектора  через елементарну площадку цієї сфери дорівнює

           

(тут  див. рис. 89.2), а потік через всю сферу

           

(тут ). Поверхня сфери  дорівнює , тому потік вектора  через замкнену поверхню дорівнює

            .   (89.3)

Покажемо тепер, що результат (89.3) не залежить від форми поверхні , що оточує заряд . Візьмемо довільну елементарну площадку  з встановленим на ній додатним напрямком нормалі  (рис. 89.3). Потік вектора  через цю площу буде дорівнювати

            ,

де  – проекція площі  на площину, яка перпендикулярна до радіуса . Використовуючи вираз для напруженості електричного поля точкового заряду (89.2), отримаємо . Величина  є тілесний кут , під яким із точки знаходження заряду q видно площу , а отже, і площу . Домовимося вважати його додатним, якщо площа  повернена до  внутрішньою стороною, і від’ємною у протилежному випадку. Тоді

            . (89.4)

Потік  через довільну скінченну поверхню  знайдемо інтегруванням цього виразу за . Заряд q не залежить від положення площадки , тому , або

            ,    (89.5)

де  – тілесний кут, під яким із точки знаходження заряду  видно поверхню .

Якщо  поверхня  замкнена, то потрібно розрізняти два випадки.

Рисунок 89.4

Випадок 1. Заряд  лежить усередині простору, який оточено поверхнею  (рис. 89.4). У цьому випадку тілесний кут  охоплює всі напрямки в просторі, тобто дорівнює , а тому формула (89.5) переходить в (89.3).

Випадок 2. Заряд  лежить поза простором, який оточено поверхнею  (рис. 89.5). У цьому випадку потік  завжди можна подати як (див. рис. 89.5)

           

Потоки  та , як випливає з (89.4) та рис. 89.5, рівні за модулем та протилежні за знаком. Тому 

.

Зрозуміло, що в цьому випадку і повний потік напруженості електричного поля заряду , який лежить поза простором, який оточено поверхнею , дорівнює нулю.

Припустимо, що поле  є суперпозицією полів  точкових зарядів . За теоремою, що була доведена вище, потік вектора  дорівнює сумі потоків векторів . Якщо заряд  оточений замкненою поверхнею , то його потік через цю поверхню буде дорівнювати  (див. (89.5), (89.3)). Якщо ж заряд лежить поза простором, який оточено поверхнею , то його потік дорівнює нулю. У результаті отримуємо дуже важливе співвідношення:

            ,     (89.5)

яке називають електростатичною теоремою Гаусса. Ця теорема стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів , які оточені цією поверхнею, поділену на . Заряди, які розміщені у зовнішньому просторі відносно цієї поверхні, на величину потоку не впливають.

При доведенні вважалось, що всі заряди точкові. Але це обмеження легко зняти, тому що будь-який заряд можна подати як сукупність точкових зарядів.