1. Об'ємна густина електричного заряду визначається як відношення заряду до фізично нескінченно малого об'єму , у якому знаходиться цей заряд:
. (92.1)
Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної об’ємно зарядженої кулі радіуса , яка має густину електричного заряду (рис. 92.1). З міркувань симетрії випливає, що поле, яке створюється електричним зарядом кулі, буде центральносиметричним. Це означає, що напрямок вектора в будь-якій точці проходить через центр кулі, а величина напруженості є функцією відстані від центра кулі.
Рисунок 92.1
Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді концентричної із зарядженою кулею сферичну поверхню радіуса (на рис. 92.1 зображена пунктирною лінією). Для всіх точок цієї поверхні (заряд кулі вважаємо додатним, вектор напруженості електричного поля і нормаль до поверхні інтегрування є паралельними). Тому потік вектора через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати
. (92.2)
Тепер знайдемо заряд всередині поверхні інтегрування. Тут потрібно розглянути два випадки: а і б, див. рис. 92.1. У випадку а, коли радіус поверхні інтегрування більше або дорівнює радіусу кулі , заряд всередині поверхні інтегрування дорівнює, як це випливає з рисунка, заряду усієї кулі
, коли . (92.3)
Коли ж (випадок б, див. рис. 92.1), то поверхня інтегрування знаходиться всередині кулі. Тому всередині поверхні інтегрування буде знаходитися тільки частина заряду кулі, яка дорівнює
, коли . (92.4)
Тепер використаємо теорему Гаусса
. (92.5)
Підставивши в (92.5) формули (92.2) й (92.3) для випадку а отримаємо
або , коли . (92.6)
Для випадку б підставляємо в (92.5) формули (92.2) й (92.4). Звідси,
або , коли . (92.7)
Таким чином, отримали формули (92.6) та (92.7), які визначають напруженість електричного поля однорідно зарядженої кулі радіуса з густиною електричного заряду . Як бачимо, за межами кулі поле збігається з полем точкового заряду тієї ж величини, що і куля, який поміщено в центр кулі. Всередині ж кулі напруженість поля росте лінійно з відстанню від центра кулі.