В трехмерном пространстве напряжение, действующее на элемент произвольно ориентированной плоскости, проходящей через точку О, может быть записано через его компоненты. Можно найти такие три ориентации этой плоскости, при которых сдвиговые напряжения в ней не будут действовать. Эти три плоскости, называемые главными плоскостями, ортогональны между собой. Три перпендикулярные к ним вектора образуют главные оси, а три нормальных к этим плоскостям напряжения принято считать главными напряжениями. Их записывают каки (с одиночными индексами), причем удобно считатьиалгебраически наибольшим и наименьшим напряжениями соответствено,— наибольшее растягивающее напряжение, обусловленное приложенной к телу нагрузкой. Величины,иможно найти, вычислив значения, для которых детерминант
(2.19)
равен нулю, где... и т. д. — девять компонент напряжений в прямоугольной системе координат. Направляющие косинусы главных осей могут быть определены подстановкой известных значенийв уравнения:
(2.20)
с учетом того, что
. (2.21)
Описание напряжений, приложенных в точке, существенно упрощается, если их связать с главными осями. В зависимости от значенийисуществуют различные напряженные состояния. В общем случае, при этом реализуется трехосное напряженное состояние. При возникает гидростатическое состояние. При двух равных и третьем отличном от нуля значенияхсостояние называется цилиндрическим. Если два значенияравны нулю, то — одноосным, если одно значениеравно нулю, то — двухосным, или плоским напряженным. Последнее обычно реализуется при нагружении очень тонких пластин, по толщине которых растягивающие напряжения не развиваются.
Максимальные или главные сдвиговые напряжения действуют по плоскостям, нормали к которым делят углы пополам (90°) между парами главных осей. Так как— наибольшее и — наименьшее главные напряжения, максимальное сдвиговое напряжение действует по двум плоскостям, нормали к которым образуют углы 45° с направлениямии. Величинаопределяется по формуле
(2.22)
Максимальное главное касательное напряжение определяет приложенное напряжение, при котором наступит течение материала.
По аналогии с напряжением можно найти семейство ортогональных осей координат или нормальных к ним плоскостей, вдоль которых не действуют деформации сдвига. Можно показать, что в изотропном теле главные оси напряжений и деформаций совпадают, т. е. элемент, ориентированный вдоль одной из главных осей напряжений, подвержен только простому растяжению или сжатию в соответствии с растягивающими или сжимающими главными напряжениями. Справедливо и обратное утверждение с заменой компонент напряжений соответствующими компонентами деформаций.
Если детерминант (2.19) развернуть в кубическое уравнение относительно ?, то получим выражение
, (2.23)
где
(2.24)
Величиныиостаются неизменными при любых осях координат и поэтому являются инвариантами системы напряжений (или тензора).
. Можно найти такие три ориентации этой плоскости, при которых сдвиговые напряжения в ней не будут действовать. Эти три плоскости, называемые главными плоскостями, ортогональны между собой. Три перпендикулярные к ним вектора образуют главные оси, а три нормальных к этим плоскостям напряжения принято считать главными напряжениями. Их записывают как
и
(с одиночными индексами), причем удобно считать
и
алгебраически наибольшим и наименьшим напряжениями соответствено,
— наибольшее растягивающее напряжение, обусловленное приложенной к телу нагрузкой. Величины
,
и
можно найти, вычислив значения
, для которых детерминант
(2.19)
... и т. д. — девять компонент напряжений в прямоугольной системе координат. Направляющие косинусы главных осей 
могут быть определены подстановкой известных значений
в уравнения:
(2.20)
. (2.21)
и
существуют различные напряженные состояния. В общем случае
, при этом реализуется трехосное напряженное состояние. При 
возникает гидростатическое состояние. При двух равных и третьем отличном от нуля значениях
состояние называется цилиндрическим. Если два значения
равны нулю, то — одноосным, если одно значение
равно нулю, то — двухосным, или плоским напряженным. Последнее обычно реализуется при нагружении очень тонких пластин, по толщине которых растягивающие напряжения не развиваются.
— наибольшее и 
— наименьшее главные напряжения, максимальное сдвиговое напряжение 
действует по двум плоскостям, нормали к которым образуют углы 45° с направлениями
и
. Величина
определяется по формуле
(2.22)
, (2.23)
(2.24)
и
остаются неизменными при любых осях координат и поэтому являются инвариантами системы напряжений (или тензора).