г)   Соотношения между напряжением и деформацией в упругих телах

г)   Соотношения между напряжением и деформацией в упругих телах

    Связь между деформациями и напряжениями описывает закон Гука.

Он впервые обнаружил, что деформация тонкой проволоки в случае приложения малого одноосного напряжения прямо пропорциональна его величине. Эта закономерность описывает линейно-упругое поведение материала (напряжение и деформация связаны линейной зависи­мостью), а коэффициент упругости, связывающий напряжение с деформацией, называется модулем Юнга

 .(2.25)

В свою очередь, коэффициент 1/Е, связывающий деформацию с напряжением, называется упругой податливостью системы. Коэффициент Пуассона v для одноосно нагруженной проволоки, определяемый отношением поперечного сжатия к продольному удлинению, равен для большинства металлов 0,28—0,33.

    В случае трехосного напряженного состояния соотношения для индивидуальных компонент напряжения и деформации оста­ются линейными. В общей форме шесть независимых компонент напряжений должны быть связаны с шестью независимыми ком­понентами деформаций шестью линейными уравнениями, вклю­чающими 36 коэффициентов:

 (2.26)

или

 (2.27)

гдеи т. д. — упругие постоянные, аи т. д. — коэффи­циенты упругой податливости.

Важной характеристикой упругодеформированного тела яв­ляется плотность запасенной энергии деформации:

 .(2.28)

 Например, для одноосной упругой деформации стержня это выражение имеет такой вид:

W = 1/2  напряжение  деформацию единичного объема.

    Между коэффициентами уравнений (2.26) и (2.27) должны существовать  соотношения: ; ,   чтобы   интеграл, взятый от произведения компонент напряжения и деформации, оставался постоянным. Для изотропных тел уравнения можно упростить, основываясь на совпадении главных осей напряже­ний и деформаций, а также на требовании симметричности сме­щений относительно этих осей. Для главных осей можно запи­сать:

    (2.29)

гдеи— постоянные Ламэ.

Если ввести дилатацию, тоуравнения(2.29)

превращаются в следующие:

;;.(2.30)

Соотношения между напряжением и деформацией в главных осяхимеют следующий вид:

(2.31)

 Очевидно, что постоянная эквивалентна модулю сдвига, связывающему напряжения сдвига и деформации. Вторая по­стоянная Ламэ ? связана с модулем Юнга Е выражением

,    (2.32)

а с коэффициентом Пуассона  выражением

(2.33)

Это следует из уравнений (2.31) для случая простого одноос­ного нагружения тонкого проволочного образца, не ограничен­ного в поперечном сужении при его растяжении (). Исключаяиз уравнений (2.32) и (2.33), можно вывести известное соотношение между упругими постоянными:

  .(2.34)

    Следовательно,  должно быть больше -1. Соотношение междуизаписывается в виде

.   (2.35)

Следовательно,должно быть меньше 0,5. Для многих упруго-деформируемых твердых тел, следовательно, = 0,25. Для пластически деформируемых металлов наблюдается сохранение объема,    так    как    деформация   проис­ходит путем скольжения. При

= 0,5 тело считается несжимае­мым.

Можно видоизменить уравнения так, чтобы они выражали деформацию через напряжение. Например, главные деформации тела под действием главных напряженийиимеют следующий вид:

 (2.36)

 Исходя из (2.36), можно дать определение главному напряжен­ному состоянию, называемому плоской деформацией, когда одно из значений главных деформаций обращается в нуль. Типичный пример плоской деформации — состояние в центре широкой про­катываемой полосы, когда происходит продольная вытяжка заго­товки при ее обжатии, ширина же проката остается практически постоянной. Если положитьравным нулю, то из уравнений (2.36) следует, что

  ,(2.37)

гденаходится в интервале 0,25—0,33 для упругой деформации и равно 0,5 для несжимаемого тела (при пластической деформа­ции).

Предположение равенства нулю компонентыследует просто из ранее принятого определения, согласно которому— наи­большее, а — наименьшее из главных напряжений.

Развитие этого подхода с учетом возникновения пластических деформаций позволяет найти зависимости между напряжениями и деформациями и за пределами упругости. Необходимость учитывать реальные особенности строения материалов привела к созданию  науки - металловедение, которая изучает и устанавливает связь между составом, строением и свойствами металлов и сплавов. Для материаловедения как раз характерно рассмотрение явлений, происходящих в пределах данного участка (зерна, участка с типичной структурой), обладающего основными признаками всего материала. Изучение микроструктур сплавов и их формирования, явлений, происходящих по границам зерен, термических превращений и других процессов проводится в первую очередь на уровне, который описывает микрокартину явлений.