а) Идеализированные схемы нагружения и их описание

а) Идеализированные схемы нагружения и их описание

Дальнейшее развитие исследований по разработке методов оценки предельного состояния тел с трещинами основывается на анализе напряженно-деформированного состояния материала в вершине трещины. В зависимости от вида приложенной нагрузки деформирование пластины с трещиной может происходить по одной из следующих основных схем, приведенных па рис. 3.8.

 

Рисунок 3.8 -  Схемы деформирования тел с трещинами

При деформировании по схеме I (растяжение) поверхности трещины расходятся друг от друга; при деформировании по схеме II (поперечный сдвиг) поверхности трещины скользят одна по другой в поперечном направлении и при деформировании по схеме III, (продольный сдвиг) поверхности трещины скользят одна по другой в продольном направлении.

В вершине трещины могут иметь место как плоское напряженное состояние, когда одно из главных напряжений равно нулю, так и плоское деформированное состояние, когда одна из главных деформации равна нулю. Наиболее опасным, с точки зрения хрупкого разрушения, является плоское деформированное состояние, так как при наличии трехосного растяжения уменьшаются величина касательных напряжений и пластически деформированный объем. Переход от плоского напряженного состояния к плоскому деформированному состоянию происходит с понижением пластичности материала, увеличением размеров образца, понижением температуры и повышением скорости приложения нагрузки.

Распределение пластических деформаций в вершине трещины в толстой плите показано на рис.3.6 и 3.7. Отметим существенную разницу в величине зон на поверхности плиты, где имеет место плоское напряженное состояние, и в ее середине, где реализуется плоское деформированное состояние. В этих условиях трещина, как правило, возникает в середине плиты, где наблюдается стеснение пластических деформаций.

 

Рисунок 3.9 - Полярные координаты, отсчитываемые от передней кромки трещины

 

Рисунок 3.10 -  Распределение напряжений в вершине трещины для схемы нагружения  I

   Напряженно-деформированное состояние в вершине трещины описывается с использованием методов теории упругости.

При плоском деформированном состоянии распределение напряжений и перемещений (и, v, w) в направлениях x, y, z для каждой из схем, приведенных на рис.3.8, будет описываться следующими уравнениями в полярных координатах (рис. 3.9 и 3.10).

Схема I:

 

    (3.5)

Схема II:

(3.6)

Схема III:

    (3.7)

В формулах (3.5) — (3.7) приняты следующие обозначения:

G — модуль сдвига;  — параметры, определяющие распределение напряжений и деформаций в материале вблизи вершины и получившие название соответственно коэффициентов интенсивности напряжений при растяжении, поперечном сдвиге и продольном сдвиге.

 В случае плоского напряженного состояния в формулах (3.6) и (3.7) следует принять  и заменить   на   .

Для трещины (см. рис.3.4), развивающейся в пластинах весьма больших размеров:

    (3.8)

где  и  — нормальные и касательные номинальные напряжения;

а — длина трещины.

Коэффициенты интенсивности напряжений являются функциями приложенных напряжений и геометрии трещины и не зависят от координат точки в вершине трещины.

При переходе к пластинам ограниченных размеров и при других формах трещин и образцов, отличающихся от приведенных на рис.3.10, выражения для и  отличаются от приведенных выше и могут быть записаны в следующем общем виде:

  (3.9)

где  — функции, учитывающие геометрию трещины и схему нагружения.

Формулы для определения этих функций в случае типовых схем нагружения деталей приведены в табл. 3.2.

Весьма важной характеристикой при рассмотрении предельного состояния тел с трещинами является удельная энергия, необходимая для образования единицы поверхности трещины, равная :

- для плоского напряженного состояния  

 ,    (3.10)

- для плоского деформированного состояния

  (3.11)

 Значения,, при которых происходит нестабильное развитие трещин, называются критическими значениями коэффициента интенсивности напряжений . Соответствующие этому условию величины критических напряжений и критических размеров трещины определяются по зависимостям (3.9). Большое значение при использовании рассмотренного метода для нахождения критических размеров трещины в деталях имеет обоснование возможности применения для этого характеристик вязкости разрушения  и , полученных на лабораторных образцах.

Таблица 3.2 -Значение  параметра  fi  при различных видах нагружения и расположения трещин

 

Продолжение табл.3.2

 

Продолжение табл.3.2

 

Основная сложность, возникающая при этом, связана с наличием в вершине трещины в металлах зоны пластической деформации, что при ее достаточно больших размерах приводит к несоответствию действительной картины напряженно-деформированного состояния и вида разрушения тому, что предполагается соотношениями, полученными на основе теории упругости (эти соотношения названы линейной механикой разрушения). Предполагается, что для расчетов могут быть использованы только те значения коэффициентов интенсивности напряжений, которые получены при наличии в вершине трещины плоского деформированного состояния. Это достигается выбором образцов таких размеров, в которых для исследуемого материала реализуется данное условие.  

 

Рисунок 3.11- Схема трещины в ненагруженном (а) и нагруженном (б) состояниях

Опыты показывают, что условия плоской деформации при использовании образцов, имитирующих размеры большинства машиностроительных конструкций, реализуются только в высокопрочных материалах. Для большинства других материалов (теплоустойчивые и аустенитные стали, сплавы на основе алюминия и титана и т. п.) такие условия не реализуются, и применение приведенных соотношений становится проблематичным.

В ряде работ для пластичных материалов обосновывается возможность использования критерия критического раскрытия трещины, т. е. предполагается, что нестабильное развитие трещины наступает тогда, когда расстояние между берегами трещины в ее вершине  достигает критического размера . В случае, показанном на рис. 3.11, в вершинах трещины будут иметь место участки пластической деформации протяженностью, раскрытие трещины будет равно. Для расчета делается предположение, что трещина длиной 2а может быть заменена трещиной длиной  при условии, что влияние пластически деформированного материала на участках  может быть заменено наложением на этих участках равномерно распределенных стягивающих напряжений, равных пределу текучести материала (рис. 3.11). Предполагается также, что вне пределов зоны   наблюдается упругое распределение напряжений. Основываясь на этих предположениях, можно получить следующее соотношение, связывающее величину раскрытия трещины с ее исходными размерами и действующими напряжениями:

(3.12)

где а — половина длины трещины;  — предел текучести; Е — модуль упругости;  — действующие напряжения. Длина участка пластической деформации

(3.13)

Воспользовавшись разложением в ряд, получим

 (3.14)

Оставив только первый член разложения, найдем

  (3.15)

Применив формулу Гриффитса (3.3) и предположив, что удвоенная удельная поверхностная энергия  в этой формуле может быть заменена величиной , которая характеризует энергию, необходимую для образования единицы новой поверхности, получим, что . Поделив правую и левую части соотношения Гриффитса на , найдем

(3.16)

Из сравнения уравнений (3.16) и (3.15) следует, что

    (3.17)

Воспользовавшись уравнениями (3.17) и (3.11), можно связать численные значения коэффициентов интенсивности напряжений и раскрытия трещины.

Величина критического раскрытия трещины определяется на образцах, аналогичных образцам, применяемым для вычисления коэффициента интенсивности напряжений в условиях плоской деформации. Преимущественно образцы испытываются при изгибе, что требует меньшей мощности машин по сравнению с растяжением. Процесс развития трещины измеряется по расхождению сторон прорези в образце, в котором инициируется усталостная трещина.

Исследования показали, что этот критерий наиболее эффективен при сравнительной оценке свойств различных материалов, его использование для расчета конструкций обусловлено необходимостью учета влияния на него размеров образца, температуры и скорости приложения нагрузки.

Рассмотренные критерии перехода к нестабильному росту трещины называются силовыми,  —   энергетическими, а  — деформационными критериями. При упругом разрушении между этими критериями существует связь, определяемая приведенными выше уравнениями.

Поскольку, как показали исследования последних лет, ни критерии линейной механики разрушения, ни критерии критического раскрытия трещины не описывают предельного состояния тел с трещинами из вязких сплавов, в настоящее время ведутся интенсивные поиски новых критериев, основанных на представлениях нелинейной механики разрушения.

Микроскопические трещины в металлах при циклическом нагружении возникают весьма быстро. Так, по некоторым данным, трещины в пределах зерна наблюдались уже после 0,1 числа циклов нагружения до разрушения. Относительное время развития видимой трещины от 0,1— 0,5 мм до разрушения для гладких образцов составляет 0,1—0,3, а для образцов с концентраторами — 0,2—0,5 и более общей долговечности.