3.1.2 Кинетика трещин по Шенли

3.1.2 Кинетика трещин по Шенли

Шенли предложил следующий закон развития трещины:

    (3.24)

где - глубина трещины (у Гриффитса под h понимается длина  

трещины a );

 постоянная;

     коэффициент, зависящий от амплитуды напряжений;

     число циклов изменения напряжений.

Строго говоря, п — число циклов изменения напряжений без одного. Поэтому в уравнении (3.24) следует писать n-1. Однако при усталостном разрушении n обычно велико, так что пп-1.При  n , равном  нулю,  А равняется исходной длине трещины hисх , т.к. множитель  = 1. С учетом этого выражение (3.24) перепишется следующим образом:

h = hисх. (3.25)

Предполагаемая кривая зависимости длины трещины от числа циклов изменения напряжений показана на рис. 3.13.

Взяв производную от обеих частей уравнения (3.25), получим выражение для скорости развития трещины

Vтр  =  hисх ? С ? а ?.   (3.26)

График изменения скорости развития трещины в зависимости от числа отработанных циклов n аналогичен графику, приведенному на рис.3.13.

 

Рисунок 3.13 -   Предполагаемый   график  зависимости   длины   трещины  h от числа п циклов изменения напряжений.

На рис. 3.14 для сравнения приведены графики, описывающие изменение длины трещины в зависимости от числа циклов, рассчитанные поГриффитсу и Шенли. В расчете полагалось, что исходная  длина  трещины, её критическая длина ( ак = 0.0056 м ) и уровень нагрузки были идентичными.

  а, м

    N, цикл

 

Рисунок 3.14 -   Изменение длины трещины а в зависимости от  длительности действия нагрузки N :   --------- по Шенли  ( формула (3.26), ? =9.5 МПа, m =6,    а0 = 0.0027м, С= 2.1?10 -15  МПа -1 ) ;    — по Гриффитсу (  формула (3.23), ?? = 2 ? 9.5 МПа ,   а0 = 0.0027м,С = 2.86 ? 10 -13  мм / цикл, n= 4 ,Y = ? )

Сравнение графиков показывает, что обе теории дают весьма близкое описание поведения трещины в процессе её развития от исходного состояния до критического.

Преимуществом метода Шенли является то, что он позволяет перебросить мостик от чисто теоретических исследований кинетики  трещин к феноменологическому исследованию их поведения.

Выше уже ни раз отмечалось, что трещина является результатом усталости металла, возникающей под влиянием действующей на машину знакопеременной нагрузки. Усталость металла при феноменологическом  методе описывается с помощью так называемой кривой усталости. Данная кривая характеризует зависимость величины переменного напряжения ?, которую может выдержать металл при заданном числе циклов его действия N. Эта кривая является своеобразным паспортом металла и в обязательном порядке приводится наряду с другими данными в соответствующих справочниках.

Рядом последовательных  преобразований можно перейти от формулы (3.24), описывающей зависимость длины трещины от числа циклов, к уравнению кривой усталости.

С этой целью выражение (3.24)  преобразовывается следующим образом:

 1  Пусть— длина трещины, при которой происходит усталостное разрушение (у Гриффитса под h0 понимается критическая длина  трещины aк),

 2  Пусть — число циклов к моменту разрушения.

 3  Пусть параметр характеризующий скорость роста трещины, имеет вид

    (3.25)

где —номинальное напряжение,

 —показатель, определяемый по экспериментальным данным;

 С — постоянная.

Тогда, подставив (3.25) в (3.24), получим

   .(3.26)

Вычисление логарифма от обеих частей равенства (3.26) дает

    (3.27)

    Разрешим уравнение (3.27) относительно   

 (3.28)

и   правую   часть   уравнения   (3.28)   обозначим   некоторой   постоянной В:

(3.29)

   Выражение (3.29) является уравнением кривой усталости. Типичный график  этого уравнения (кривая усталости) приведен на рис.3.15.    Показатель степени ?, обозначаемый в литературе, посвященной усталости металлов, буквой  m, характеризует наклон кривых  ?(N) при    построении   графиков    в логарифмических координатах

«ln ? – ln N».

 

Рисунок 3.15 – График кривой усталости