б) Решение задач, связанных с временной зависимостью прочности, средствами механики разрушения
1) Определение времени разрыва образца
из пластичной стали
Образец из пластичной стали удлиняется под нагрузкой от до бесконечности, при этом сечение уменьшается от до нуля. Изменение скорости ползучести в зависимости от истинного напряжения хорошо аппроксимирует степенная функция
, (3.66)
где ; и — экспериментально определяемые величины.
Скорость ползучести связана с приращением длины :
, (3.67)
где— длительность нагружения.
Из условия постоянства объема материала , вытекающего из условия его несжимаемости при пластической деформации, следует, что
= ,(3.68)
где — условное напряжение;
— истинное напряжение.
Подставив выражения (3.68) и (3.67) соответственно в левую и правую части уравнения (3.66), получим
.(3.67)
После интегрирования с определением постоянной интегрирования из условия l = l0 при находим
. (3.68)
Из выражения (3.68) следует, что при , если
n . Обозначив время вязкого разрушения через , из последнего выражения при условии найдем
.(3.69)
При этом согласно формуле (3.68), , а по формуле (3.66)
.
Значение , определенное по (3.69) хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными на пластичных материалах.
2) Разрушение реальных материалов
Разрушение реальных материалов совершается задолго до приближения площади сечения растягиваемого образца к нулю. Процесс разрушения таких материалов во времени рассматривается во многих работах как процесс повреждаемости материала в результате накопления под действием нагрузки рассеянных дефектов типа трещин. Для прогнозирования этого процесса используют различные теории повреждаемости.
Рассмотрим одну из математических моделей такого типа, основанную на предположении, что изменение во времени некоторой функции ?, характеризующей сплошность материала, в пределах от 1 до 0 определяется уровнем эффективного напряжения , т. е.
. (3.70)
Простейший вид функции ? в виде степенной зависимости
(3.71)
позволяет получить решениезадачи в квадратурах
(m- экспериментально определяемая величина).
Разделяя переменные в уравнении (3.71) и интегрируя его при начальном условии при ,находим
(3.72)
В задаче о разрыве стержня при Р = const и остаточной деформации, стремящейся к нулю, т. е. при хрупком разрыве, имеем
. Тогда из (3.72) следует, что
Так как в момент хрупкого разрыва стержня (t = tx )сплошность сечения, то
, (3.73)
где — время хрупкого разрушения.
3) Время вязкохрупкого разрушения
Определим время вязкохрупкого разрушения, совершающегося при ползучести вследствие повреждаемости. Из формулы (3.69) ; подставим это значение в формулу (3.68),тогда при . Наоснованииравенства (3.69)
. (3.74)
Подставив это выражение в формулу (3.71) и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение для функции ?:
.
Проинтегрируем это дифференциальное уравнение при начальном условии при t=0. После преобразования с использованием (3.73) получим
. (3.75)
Вычислим время вязкохрупкого разрушения по условию t = tвх при:
.(3.76)
На рис. 3.47 в координатах, построены графические зависимости по уравнениям (3.69), (3.73) и (3.76), соответствующие хрупкому (прямая 1), вязкому (прямая 2) и вязкохрупкому (кривая 3) разрушению.
Рисунок 3.47 - Графические зависимости, построенные по уравнениям (3.69), (3.73) и (3.76)
Как и следовало ожидать, прямая 1 наклонена под большим углом к оси абсцисс, чем прямая 2. Из этого следует, что n > m .
4) Характеристики сплошности и повреждаемости
Общие уравнения повреждаемости в условиях ползучести были введены Ю. Н. Работновым и А. Г. Костюком.
Ю. Н. Работнов изучал функцию при степенной аппроксимации
,(3.77)
гдеи- постоянные, зависящие от температуры;
- функция поврежденности, равная нулю в исходном состоянии и единице в момент разрушения.
Зависимость между характеристиками сплошности ? и поврежденности имеет вид.
Дальнейшее усложнение уравнение повреждаемости в условиях ползучести получило у А. Г. Костюка :
,
где Н-функция напряжений, поврежденности , времени t ;
- рассеянная работа ползучести.
Работа ползучести
,
где- деформация ползучести, ; - коэффициент.
Отсюда
.
В результате
.(3.78)
Кинетические уравнения повреждаемости для сложнонапряженного состояния могут быть построены на основе уравнения (3.71) в виде
(3.79)
где в качестве эквивалентов ?экв рассматривались напряжения при , , где ?i — интенсивность напряжений [см. раздел 2]. Лучшее приближение к опыту дают критерии= и , где 1- постоянная, определяемая из опыта; ,