3.2.8 Элементы теории линейной вязкоупругости

3.2.8 Элементы теории линейной вязкоупругости

    Сложность строения реальных материалов предопределяет трудности математического описания процессов рассмотренных выше различных форм проявле­ния неупругости. Чтобы разобраться в этих процессах, строят рео­логические модели различной сложности, каждая из которых от­ражает особенности одного процесса (сам процесс может изменять характер и степень проявления в разных материалах), например модель релаксации напряжений в металлических и железобетонных конструкциях. Чтобы дать представление о методах построения реологических моделей и способах их описания, рассмотрим неко­торые простейшие модели.

    Согласно закону Ньютона при вязкой деформации касательные напряжения пропорциональны не деформации сдвига, как в законе Гука, а скорости деформации сдвига:

.

Для осевой деформации

 ,

где   и — коэффициенты вязкости, Дж/м2.

Примем, что полная деформация есть сумма двух ее компонен­тов— упругой  и вязкой:

По закону Гука

;

    По закону Ньютона

.

 Скорость полной деформации

,

или

(3.86)

Это уравнение описывает поведение реологической модели, называемой телом Максвелла. Схема модели Максвелла, составленная

из   последовательного   соедине­ния   упругого  (рис. 3.52а) и   вязкого

(рис. 3.52б) элемен­тов, приведена на рис. 3.52в.

Рассмотрим поведение тела Максвелла при граничных усло­виях, принятых в опыте на релаксацию напряжений, т. е. при .Тогда   

    После разделения переменных и интегрирования при начальных условиях      и    ,   имеем     .

    Множитель  время, по истечении которого напряжениеуменьшится в раз.

Обозначив,   получим

   (3.87)

 

Рисунок  3.52 – Реологические модели

Другая реологическая модель вязкоупругости (модель Фойгта) получится, если полное напряжение представить как сумму двух компонентов, первый из которыхвызывает упругую деформацию, а второй — вязкую, причем упругий и вязкий элементы соеди­нены параллельно (рис. 3.52 г). Для этой модели

(3.88)

    Решая дифференциальное уравнение (3.88) для случая, когда в момент t = 0,   к  телу прикладывается напряжение   ,   которое

поддерживается во времени постоянным до момента t=t1 , находим

  ,   (3.89)

где— время запаздывания.

Если  при нагрузка  снимается,   то   решение  уравнения

 при и  имеет вид

  .(3.90)

Таким образом, решения (3.89) и (3.90) уравнения (3.88) воспроизводят кривые изменения нагрузки при увеличении и уменьшении  нагрузки.

    Более широкие возможности для описания явлений вязкоупругости дает предложенная Вольтеррой форма наследственной упругости, выражаемая уравнением для деформации

   (3.91)

и напряжения

    (3.92)

где — начальное время нагружения.

Решение интегрального уравнения (3.91) для конкретной задачи начинается с отыскания для нее аппроксимирующего закона последействия (уравнения кривой ползучести) в виде аналитической зависимости, т. е. с придания ядру интегрального уравнения  или подходящей  для рассматриваемого случая формы функциональной зависимости.

    По уравнению (3.91) при можно определитьзакон последействия (построить кривую ползучести), если известно ядро указанного интегрального уравнения.

    Одним  из  простейших  ядер  последействия   является  зату­хающая функция .    Заметим,   что при имеем.  Уравнение (3.91)  с таким ядром описывает деформацию тела Максвелла.

   Уравнение (3.92) позволяет по известному закону деформации определить закон изменения напряжений, т. е. в частном случае припозволяет описывать закон релаксации напряжений  при  постоянной деформации.  Тогда  ядро  называется ядром релаксации и является резвольвентой ядра последей­ствия .

    Теория интегральных уравнений связывает эти ядра соотношением