Вільні коливання однорідної балки з густиною ? постійного поперечного перерізу А та жорсткістю на згин EI (рисунок 8) описується диференціальним рівнянням четвертого порядку в частинних похідних
(56)
Рисунок 8 – Балка з різними умовами закріплення
Для розв’язання цього рівняння застосуємо метод розділення змінних
(57)
де U(x) – функція форми коливань (амплітудна функція);
Т(t) – головна координата.
Підстановка виразу (57) у рівняння (46) дає
(58)
або, розділивши змінні:
(59)
Оскільки ліва частина рівняння є функцією координати х, а права – функцією координати t, причому ці координати взаємонезалежні, то (59) розкладається на два рівняння:
(60)
де ? – власна частота коливань.
Розв’язок першого рівняння (60) має вигляд
(61)
Чотири граничних умови (рисунок 8) дають можливість визначити значення трьох констант інтегрування, а також власні частоти коливань.
Розв’язок другого рівняння (60) має вигляд
(62)
Суперпозиція частинних розв’язків являє собою загальний розв’язок вихідного рівняння (56)