загрузка...
 
ПРИКЛАДИ
Повернутись до змісту

ПРИКЛАДИ

Приклад 9

Визначити перші дві власні частоти й форми коливань системи, наведеної на рисунку 27.

 

Рисунок 27

Розв’язання

Для визначення перших двох власних частот коливань системи достатньо розбити систему на три елементи: стрижень і дві пружини.

Матриця трансформації (99) для елемента е1:

Матриця інерції та жорсткості елемента е1 у глобальній системі координат за формулою (98):

де т – маса стрижня:

Матриці жорсткості елементів е2 та е3 у глобальній системі координат:

Матриці інерції та жорсткості системи:

Кінематичні граничні умови

Частотне рівняння з урахуванням кінематичних граничних умов запишеться так:

або в розгорнутому вигляді

Власні частоти системи

Власні форми системи визначаємо з рівняння

Вважаючи, що и1 = 1, отримаємо:

1) перша власна форма коливань (рисунок 28а):

2) друга власна форма коливань (рисунок 28б):

 

                            а)                                               б)

 

Рисунок 28

Приклад 10

Провести модальний і гармонійний аналіз конструкції, наведеної на рисунку 29.

 

Рисунок 29

Розв’язання

Обмежимося визначенням перших трьох власних частот. Для цього представимо конструкцію у вигляді системи трьох стрижневих скінченних елементів, з'єднаних між собою за допомогою ідеальних шарнірів 1, 2, 3.

Маса елементів е1, е2, е3:

Матриці інерції та жорсткості елементів у глобальній системі координат визначимо за формулами (100) і (101):

Матриці інерції та жорсткості системи:

Кінематичні граничні умови

Рівняння динаміки системи в матричній формі

Частотне рівняння

або в розгорнутій формі

де z – безрозмірна частота:

Отримане бікубічне рівняння можна розв’язати за допомогою застосування формул Кардано відносно  або чисельно за допомогою програмного пакета Mathcad Professional.

Корені частотного рівняння є власними частотами:

Форми коливань знаходимо з рівняння

1) Перша форма ( ) (рисунок 30а):

2) Друга форма ( ) (рисунок 30б):

3) Третя форма ( ) (рисунок 30в):

 

        а)                                       б)                                в)

 

Рисунок 30

Амплітудно-частотні характеристики системи визначаються з рівняння

звідки отримаємо (рисунок 31)

 

Рисунок 31

Прирівнюючи до нуля чисельник у виразі амплітуди вертикальної складової коливань вузла 3, знайдемо частоти зовнішнього зусилля, при яких спостерігається явище антирезонансу

Корені даного біквадратного рівняння дорівнюють



загрузка...