11.5.1. Некоторые сведения из статистической теории
Начнём с понятия случайная величина. Жизнь даёт нам много примеров встречи с величинами, численное значение которых не является строго определённым, а меняется в силу разных причин, многие из которых остаются нам неизвестными. Например, номер автомобиля, пресекающего нам дорогу, для нас является совершенно случайным набором цифр. Довольно случайным является и количество очков, набранным одной из баскетбольных команд в ходе матча. Средняя суточная температура воздуха в день наших именин тоже случайная величина. Количество подобных примеров может быть умножено до бесконечности.
Знать случайную величину – это означает не узнать какое-то одно её значение, полученное в ходе одного опыта. Нет, нам нужно иметь хорошее представление о других возможных её значениях и о вероятностях появления этих значений. Можно сказать и так – нас интересует, как распределены все возможные значения данной случайной величины, как часто эти отдельные значения появляются. Всякое распределение значений случайной величины характеризуется некоторыми определёнными показателями. Среди этих показателей есть несколько наиболее важных; о них речь пойдёт ниже.
Пусть случайная величина С принимает различные значения
с соответствующими им вероятностями
Здесь каждая вероятность pk соответствует отдельному значению Сk. При этом обязательно
Средним значением величины С, или математическим ожиданием её, называется такая сумма:
Здесь и ниже угловыми скобками обозначается операция усреднения.
Дисперсией случайной величины С называется величина
Важной характеристикой распределения значений случайной величины является среднее квадратичное отклонение. Оно вводится следующим соотношением:
Чем больше разброс значений случайной величины, тем больше дисперсия и тем больше среднее квадратичное отклонение sС и тем215больше неопределённость возможного значения величины C в каждом последующем опыте. Отметим, что величина sС имеет ту же размерность, что и сама величина С.
Пример 11.1
По расчётам экспертов годовая прибыль предприятия с вероятностью 70 % составит 20 000 $. Пессимистичный вариант развития событий предсказывает прибыль 10 000 $ с вероятностью 20 %. Оптимистичный вариант развития событий предсказывает прибыль 35 000 $ с вероятностью 10 %.
Рассчитаем ожидаемую (среднюю) прибыль и среднее квадратичное отклонение от среднего значения.
Запишем исходные данные в таком виде:
Подставляя эти числа в формулы (11.2) – (11.4), получаем:
Пример 11.2
В нижеприведенной Таблице 11.2 представлены возможные значения величины Сk и соответствующие этим значениям вероятности появления данного значения на практике pk. Будем считать, что приведенные в Таблице числа являются результатом обработки экспериментальных данных. При этом вероятность любого из значений Сk является отношением числа появлений данного события к полному числу всех событий, наблюдавшихся в ходе эксперимента.
Данную таблицу иллюстрирует приведенный ниже рис. 11.2.
Рис. 11.2. Распределение вероятностей появления случайного события
Расчёт по формулам (11.2) – (11.4) даёт такие показательные величины:
Это означает, что в отдельном опыте весьма вероятно получить значение величины С где-то в интервале от трёх до восьми. Но выражение «весьма вероятно» является слишком неопределённым и, безусловно, требует уточнения. На практике, распределение случайных величин часто близко к нормальному распределению. Тогда можно говорить более определённо, а именно так: вероятность того, что ожидаемый результат будет находиться внутри интервала
Величину sС (и ей родственные) в дальнейшем считаем мерой риска. Чем больше sС, тем больше риск, тем больше вероятность получить на практике результат заметно отличающийся в неблагоприятную сторону (но и в благоприятную тоже!) от ожидаемой величины < С >.
Вернёмся снова к числам нашего примера. Из приведенных формул видно, что с вероятностью 68% ожидаемый результат будет находиться в пределах от 3,22 до 7,64; при этом вероятность результата С < 3,22 равна 16 %; с вероятностью 90% ожидаемый результат будет находиться в пределах от 1,80 до 9,06; при этом вероятность результата С < 1,80 равна 5 %; с вероятностью 95% ожидаемый результат будет находиться в пределах от 1,11 до 9,75; при этом вероятность результата С < 3,22 равна 2,5 %; с вероятностью 98% ожидаемый результат будет находиться в пределах от 0,29 до 10,57; при этом вероятность результата С < 0,29 равна 1 %; с вероятностью 99% ожидаемый результат будет находиться в пределах от – 0,31 до 11,17; при этом вероятность результата С < – 0,31 равна 0,5 %. Если в последнем случае величина С является ожидаемой прибылью, то видно, что вероятность понести убыток ( С < 0 ) равна примерно 0,76 %.
