КАНОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДОПУСТИМЫХ МЕР

КАНОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДОПУСТИМЫХ МЕР

Малютин Г.К., профессор, Козлова И.И., аспирант, СумГУ, г. Сумы

В теории субгармонических функций часто возникает следующая задача: по заданной мере построить субгармоническую функцию, мера которой в точности совпадает с заданной мерой. Классические формулы Вейерштрасса, Адамара дают представление целых функций конечного порядка, нули которых совпадают с заданной последовательностью. Эти формулы были обобщены в работах Рубела [1], Хабибуллина [2, 3], Малютина и Герасименко [4] и др. Целью настоящей работы является получить аналогичные формулы для мер конечного - типа, распределенных в верхней полуплоскости +. Основным инструментом работы является метод рядов Фурье, развитый в работах Рубела и Тейлора для мероморфных функций, и распространенный К.Г. Малютиным на дельта- субгармонические функции в полуплоскости [5].

Мы вводим понятие канонической функции меры конечного - типа, распределенной в верхней полуплоскости, которая в случае дискретной меры совпадает с определением канонического произведения Неванлинны, построенного по нулям функции, аналитической в верхней полуплоскости.

В работе было введено следующее определение. Пусть  - некоторая последовательность вещественных чисел. Функции

(1)

называются коэффициентами Фурье пары .

Пара  называется  - допустимой, если мера  имеет конечную  _ плотность и существуют положительные постоянные А, В, при которых

                                  (2)

Мы введем понятие коэффициентов Фурье меры, которое не зависит от выбора последовательности чисел , а зависит только от самой меры.

Пусть  _ функция роста. Положим , если для всех   и , в противном случае.

Для  обозначим через , где нижняя грань берётся по всем , для которых неравенство

                                                  (3)

выполняется для всех . Для этих  определим

                                               (4)

Если , то по определению  существует последовательность  при , такая, что

                                            (5)

По предположению имеем    

Из [4] следует фундаментальность последовательности  для  Тогда для  положим

                                           (6)

Определение 1. Пусть мера   - допустима. И пусть в определении (1) в качестве последовательности  взяты числа, определяемые формулой (4), с заменой на , и формулой (6). Тогда коэффициенты Фурье пары  называются коэффициентами Фурье меры  (соответствующими функции роста ).

Введем теперь понятие канонической функции  - допустимой меры . Пусть  - коэффициенты Фурье меры . Положим

Для  полагаем

где G - функция Грина полукруга .

Положим теперь  при .

Определение 2. Функция  называется канонической функцией меры .

Теорема 1. Каноническая функция  - допустимой меры  принадлежит классу , ее коэффициенты Фурье совпадают с коэффициентами Фурье меры , а ее полная мера совпадает с мерой .

Список литературы

1. L.A. Rubel, Современные проблемы теории аналитических функций, Наука, М., 1966.

2. Б.Н. Хабибуллин, “Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты”, Матем. сб., 198(2), 2007, 121-160.

3. Б.Н. Хабибуллин, “Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты. II. Целые функции”, Матем. сб., 200(2), 2009, 129-158.

4. К. Г. Малютин, В. А. Герасименко, “Обобщенные канонические произведения в комплексной плоскости”, Вестник Харьковского университета, "Матем., прикл. матем. и механика"', 57(790), 2007, 198-205.

5. К. Г. Малютин, “Ряды Фурье и дельта-субгармонические функции конечного гамма-типа в полуплоскости”, Матем. сб., 192(6), 2001, 51-70.