4  Оцінка надійності машин на стадії експлуатації 4.1 Випадкові величини та їх характеристики

4  Оцінка надійності машин на стадії експлуатації 4.1 Випадкові величини та їх характеристики

У розрахунках надійності більшість параметрів повинні розглядатися як випадкові величини. Випадковою називається величина, що набуває заздалегідь невідомого значення. Випадкові величини можуть бути нескінченні, або дискретні.

Нехай Х – випадкова величина, а х – деяке дійсне число із області зміни величини Х. Можна стверджувати, що в діапазоні зміни випадкової величини Х існує імовірність того, що             Х < х. Ця залежність  називається функцією розподілу, або функцією імовірності випадкової величини Х.

Функція F(X) є неспадною функцією  (монотонно зростаючою). У діапазоні зміни випадкової величини Х вона змінюється від 0 до 1.

Похідна від функції розподілу

           (4.1)

називається щільністю розподілу і характеризує частість повторень даного значення випадкової величини. У задачах надійності вона часто використовується як щільність імовірності.

Розглянемо основні характеристики випадкової величини. Розподіл випадкової величини характеризується математичним сподіванням (середнім значенням), дисперсією, середнім квадратичним відхиленням і коефіцієнтом варіації.

Математичне сподівання, або середнє значення випадкової величини, визначене за результатами спостережень, дорівнює:

,          (4.2)

 де Хі – значення випадкової величини; N – загальна кількість спостережень.

Дисперсія випадкової величини – середнє значення квадрата різниці між значенням випадкової величини і  її середнім значенням:

.          (4.3)

Слово “дисперсія” означає розсіювання і характеризує розподіл випадкової величини. Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини.

Зручніше користуватися характеристикою розподілу, що має розмірність випадкової величини, – це середнє квадратичне відхилення. Середнє квадратичне відхилення являє собою корінь квадратний з дисперсії, тобто

.            (4.4)

Для оцінки розсіювання випадкової величини використовують коефіцієнт варіації

,                     (4.5)

де SX – середнє квадратичне відхилення; Хсер – середнє значення випадкової величини.

Крім цього, для характеристики випадкових величин використовують поняття квантиль та медіана.

 

Квантилем називається значення випадкової величини, яке відповідає заданій імовірності. Квантиль, що відповідає імовірності 0,5, називається медіаною.

Медіана характеризує розміщення центра (групування) випадкової величини. Площа під графіком функції щільності розподілу ділиться медіаною навпіл (рис. 4.1).