4.2 Закони розподілу випадкових величин

Основним завданням теорії надійності є одержання математичного закону розподілу параметрів надійності (найчастіше ймовірності відмови).

Розподіл значень показників надійності машин з достатнім ступенем точності можна оцінити за такими трьома законами: експоненціальним, нормальним і Вейбулла.

Експоненціальний закон

Експоненціальний закон застосовується для характеристики показників надійності машини в період її нормальної експлуатації ( від кінця приробітку до появи поступових відмов) або наробітку до відмов невідновлюваних виробів. У період нормальної експлуатації надійність характеризується раптовими відмовами, що виникають у зв’язку з несприятливим збігом обставин, і тому ці відмови мають постійну інтенсивність.

Це однопараметричний закон, що характеризується постійною інтенсивністю відмов:

(4.6)

Основні характеристики надійності для цього закону мають вигляд:імовірність безвідмовної роботи

; (4.7)

інтенсивність відмови

; (4.8)

щільність імовірності відмов

. (4.9)

Графічні залежності для цього закону наведені на рис. 4.2.

Нормальний закон

Застосовують нормальний закон для характеристики показників надійності у період поступових відмов. Цей закон є універсальним і застосовується для відновлюваних та невідновлюваних виробів (рис. 4.3).

Щільність розподілу ймовірності відмов визначають за формулою

, (4.10)

де - середнє квадратичне відхилення; - середнє значення наробітку.

Функція f(t) має дві змінні s і t. Для спрощення підрахунків застосовують підстановку , де – квантиль нормального розподілу.

Тоді функція щільності розподілу буде мати вигляд

. (4.11)

Ця функція має одну змінну "x" і її знаходять за таблицями [5].

Потім знаходять функцію F0(x)

, (4.12)

при цьому

. (4.13)

Імовірність безвідмовної роботи розраховують за формулою

, (4.14)

де .

Закон Вейбулла

Цей закон є універсальним і застосовують його для характеристики наробітку на відмову підшипників, деталей автомобілів, гідравлічних машин та ін.

Основні характеристики надійності для цього закону:ймовірність безвідмовної роботи

, (4.15)

де а і в – параметри розподілу; , або ,де – табличне значення;

щільність розподілу відмов

; (4.16)

інтенсивність відмов

. (4.17)

Основні параметри надійності

Надійність – це здатність машини безвідмовно працювати протягом визначеного інтервалу часу в заданих умовах. Більш надійні машини дозволяють збільшити продуктивність праці, коефіцієнт їх використання, зменшити експлуатаційні витрати та затрати на ремонт, підвищити рівень автоматизації та ін.

У розділі (4.1) було показано, що параметри надійності є випадковими величинами. При багаторазовому повторенні вони підпорядковуються певним статичним залежностям.

При розрахунках характеристик надійності використовують математичний апарат теорії імовірності і математичної статистики.

Однією з основних характеристик надійності є відмова – випадкова подія. Випадковою називається подія, яка в розглянутому поєднанні умов може відбутися, а може і не відбутися.

Подія – це кількісний або якісний результат випробування.

Імовірністю події називається відношення

, (4.18)

де Р(А) – імовірність події А; n – кількість випадків, що сприяють настанню події А; N – загальна кількість випадків.

Приклад. При випробуванні насоса протягом певного часу було зафіксовано десять відмов (N = 10), з них два рази відмовило сальникове ущільнення. Яка імовірність відмови ущільнення?

Розв’язання. Використовуємо позначення: А – подія, що полягає у появі відмов сальникового ущільнення; n – кількість випадків, які сприяють настанню відмов, тоді

При визначенні імовірностей складних подій застосовують правила додавання і множення імовірностей.

Додавання імовірностей. Нехай відбуваються дві події А і В. Визначимо імовірність появи однієї з них (А чи В). А і В – сумісні події, тоді

Р(А або В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (4.19)

де - імовірність спільної появи подій А і В.

Множення ймовірностей. Імовірність спільного настання декількох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

, (4.20)

або

. (4.21)

На практиці розглядають дві протилежні події: працездатність Р і відмову Q. Можна показати, що .

Приклад. Агрегат складається з двох машин. Імовірність безвідмовної роботи протягом деякого наробітку відповідно Р1 = 0,8; Р2 = 0,7. Визначити ймовірність безвідмовної роботи агрегату.

Розв’язання. У цьому випадку ймовірність безвідмовної роботи агрегату відповідно до формули множення ймовірностей складе

Розглянемо основні параметри надійності на прикладі. При експлуатації N виробів протягом наробітку t на кінець терміну експлуатації залишилося NР працездатних виробів і n відмовлених. Визначимо параметри надійності.

1 Імовірність безвідмовної роботи P(t) оцінюють за відносною кількістю працездатних виробів на кінець наробітку

(4.22)