загрузка...
 
Тема 4 КООРДИНАТИ НА ПРЯМІЙ, НА ПЛОЩИНІ, У ПРОСТОРІ
Повернутись до змісту

Тема 4 КООРДИНАТИ НА ПРЯМІЙ, НА ПЛОЩИНІ, У ПРОСТОРІ

Завдання 1 Прочитайте і запишіть слова і словосполучення, з’ясуйте значення нових слів у словнику:

(за)фіксувати напрям;

відкладати (відкласти) відрізок;

назвати напрям додатним (від’ємним);

позначати початок (кінець) відрізка точкою (точками);

збігатися з додатним (від’ємним) напрямом осі;

задавати напрям (число, функцію, положення точки в просторі...);

вводити (ввести) систему координат.

Завдання 2 Прочитайте речення, зверніть увагу на слова і словосполучення, близькі за значенням. Поставте запитання до виділених слів.

1 Пряма, на якій вказали додатний напрям, називається віссю. = Пряма, на якій вказаний додатний напрям, називається віссю.

2 Основна заслуга в створенні методу координат належить французькому математикові Р. Декарту. = Французький математик Р. Декарт створив метод координат.

3 Важко переоцінити значення декартової системи координат у розвитку математики та її додатків. = Декартова система координат має велике значення в розвитку математики і її додатків.

Завдання 3 Визначте склад спільнокореневих слів.

Напрямляти – напрямити – напрям – напрямний.

Визначати – визначити – визначення.

Перетинати(ся) – перетнути(ся) – перетин.

Межа – обмежити – обмежений.

Відкласти – відкладений.

Відповідати – відповідність – відповідний.

Знак – означати – значення – позначати – позначити.

Завдання 4 Утворіть прикметники від іменників і словосполучень за допомогою суфіксів -н-, -ичн-.

Координата, перпендикуляр, паралель, прямий кут, сфера, два виміри, циліндр, геометрія, два значення.

Завдання 5 Складіть словосполучення, використовуючи іменники й прикметники.

площина

простір

прямі

промінь

паралельний (-льна, -льно, -льні)

перпендикулярний (-а, -о, -і) 

симетричний (-а, -о, -і)

Завдання 6 Прочитайте тексти.

Текст 1Координати на прямій

На прямій зафіксуємо один із двох визначуваних нею напрямів і назвемо його додатним, а інший – від’ємним. Пряма, на якій вказаний додатний напрям, називається віссю. Якщо на цій прямій відкласти відрізок, що має початок (т. А) і кінець (т. В), то ми отримаємо напрямлений відрізок. Відрізок, обмежений точками А і В, називають напрямленим відрізком, або вектором, якщо вказано, яка точка позначає початок відрізка, а яка – кінець. 

Величиною напрямленого відрізка називають довжину. Вона може бути зі знаком «+», якщо напрям відрізка збігається з додатним напрямом осі, і знаком «–», якщо напрям збігається з від’ємним напрямом осі.

Координатною віссю називають пряму, на якій зафіксовані початок відліку, додатний напрям і вибраний масштаб для вимірювання довжин.

Координати точки М – величина ОМ, де О – початок координат. Якщо позначити її через х, то х = ОМ.

Завдання 7 Відповідайте на запитання.

1 Що називається віссю?

2 Який відрізок називається напрямленим відрізком, або вектором?

3 Якою може бути величина напрямленого відрізка?

4 Які характеристики обов’язкові для координатної осі?

Завдання 8 Виберіть довільно точку на прямій, опишіть її координати.

Текст 2 Координати на площині

Якщо провести перпендикулярно даній осі ще одну й задати їй додатний напрям, то ми матимемо систему координат на площині. У такому разі координати будь-якої точки визначатимуться двома числами.

 

Координати точки М – це числа, що визначаються як х = Омх, у = Ому, де Омх. – величина відрізка ОМ осі Ох; Ому –  величина відрізка ОМ осі Оу.

Завдання 9 Відповідайте на запитання.

1 Які осі розташовані в системі координат на площині?

2 Що ще необхідне, щоб мати систему координат на площині?

Завдання 10 Виберіть довільно точку на площині і дайте характеристику її координат.

Текст 3

Прямокутні декартові координати в просторі

Прямокутна декартова система координат у просторі визначається трьома взаємно перпендикулярними осями, що перетинаються в одній точці. Точка перетину називається початком координат, самі осі – координатними осями, одна з них (Ох) – вісь абсцис, інша вісь (Оу) – вісь ординат, третя (Oz) – вісь аплікат.

Нехай М – довільна точка простору. Проведемо через неї три площини, перпендикулярні координатним осям, і точки перетину з осями позначимо Мх, Му, Мz відповідно.

 

Прямокутними декартовими координатами точки М називаються числа х = Омх (абсциса), у = Ому (ордината),

z = ОМz (апліката).

Завдання 11 Відповідайте на запитання.

1 Скільки осей має бути, щоб вийшла система координат у просторі?

2 Як вони повинні розташовуватися?

3 Як називаються ці осі?

Завдання 12 Нарисуйте систему координат у просторі, виберіть довільно точку і охарактеризуйте її координати.

Завдання 13 Напишіть диктант.

1 Вісь – це пряма, на якій вказаний додатний напрям.

2 Відрізок, обмежений точками А і В, називають напрямленим відрізком, або вектором, якщо вказана точка початку і точка кінця відрізка.

3 Величиною напрямленого відрізка називають його довжину.

4 Координатною віссю називають пряму, на якій зафіксовані початок відліку, додатний напрям і вибраний масштаб для вимірювання довжин.

Завдання 14 Прочитайте текст «Координати», порівняйте його з попередніми текстами. Відповідайте на запитання:

Хто і коли ввів географічні координати?

Хто і коли ввів координати на площині?

Що зробив Р. Декарт? Яку систему координат називають декартовою?

Які ще системи координат існують?

Координати

Більш ніж за 100 років до н.е. грецький учений Гіпарх запропонував зобразити на карті земну кулю за допомогою паралелей і меридіанів і ввести добре тепер відомі географічні координати – широту і довготу – та позначити їх числами.

У XIV ст. французький математик Н. Оресм ввів координати на площині. Він запропонував покрити площину прямокутною сіткою і називати широтою і довготою те, що ми тепер називаємо абсцисою й ординатою.

У XVII ст. був створений метод координат, який об’єднав алгебру і геометрію. Точка площини (геометричний об’єкт) замінюється двома числами (х; у), тобто об’єктом алгебри. Основна заслуга в створенні методу координат належить французькому математикові Р. Декарту. Таку систему координат стали називати декартовою. Точку О перетину прямих називають початком, а самі напрямлені прямі – осями координат, вісь Ох – віссю абсцис, а вісь Оу – віссю ординат. Числа х; у називають декартовими координатами точки (х; у).

Для визначення положення точки в просторі потрібне введення третьої осі – осі аплікат. Таким чином, положення точки в просторі вже задаватиметься трьома числами.

Існують також координати, що задаються одним числом. Це координати на прямій. Досить задати одне число – відстань від точки до початку відліку, щоб вказати на прямій положення цієї точки.

Важко переоцінити значення декартової системи координат у розвитку математики і її додатків. Величезна кількість задач, що вимагали для вирішення геометричної інтуїції, специфічних методів, отримала розв’язання за допомогою методів алгебри.

Криві і поверхні, визначувані раніше геометрично, отримали опис у вигляді формул. Більш того, розглядаючи різні рівняння і зображаючи відповідні лінії і поверхні, математики отримали нові геометричні образи, що виявилися дуже корисними в додатках, наприклад гіперболічні функції.

Текст для самостійного читання

Рене Декарт

Рене Декарт (1596–1650) – відомий французький філософ, математик, фізик. Закінчив коледж в Ла-Флеші; багато подорожував, накопичуючи життєвий досвід і продумуючи контури свого майбутнього вчення – аналітичного методу пізнання. Декарт прагнув і у філософії, і в будь-якій іншій науці знайти математичні закони. Він хотів створити такий універсальний математичний метод, який дозволив би кожному, хто опанував цим методом, розв’язувати будь-яку задачу. У 1637 р. вийшли чотири томи його «Філософських дослідів». Останній том мав назву «Геометрія».

Математика посідала особливе місце у системі Декарта, він вважав її принципи встановлення істини зразком для інших наук.

Головне досягнення Декарта – побудова аналітичної геометрії (термін запропонував І. Ньютон), у якій геометричні завдання перекладалися мовою алгебри за допомогою методу координат.

Великою заслугою Декарта було введення зручних позначень, що збереглися до нашого часу: латинських букв х, у, z – для невідомих; а, в, с – для коефіцієнтів; х1, у5, а1 – для ступенів.

Він сформулював основну теорему алгебри: «число коренів рівняння алгебри дорівнює його ступеню», доказ якої був отриманий лише наприкінці XVIII ст. К.Ф. Гауссом; дав поняття змінної величини і функції.

Інтереси Декарта не обмежуються математикою, а охоплюють механіку, оптику, біологію. Він дав поняття імпульсу сили, є автором теорії, що пояснює утворення і рух небесних тіл вихровим рухом частинок матерії; ввів уявлення про рефлекс та ін.

Завдання 1 Відповідайте на запитання.

1 Яке місце у системі Декарта посідала математика? Чому?

2 Чому вчений прагнув створити універсальний математичний метод?

3 Яке головне досягнення Декарта?

4 Які позначення він ввів?

5 Що ще розробив Декарт у математиці?

6 Які поняття дав Декарт в інших науках?

Завдання 2 Прочитайте вирази, поставте знак «+», якщо ви згодні, знак «–», якщо не згодні. Аргументуйте вашу оцінку.

1 Віссю називається пряма, на якій вказаний позитивний напрям.

2 Напрямлений відрізок не обмежений точками.

3 Величина напрямленого відрізка може бути тільки зі знаком «плюс».

4 Координатна вісь – це пряма, на якій зафіксований початок відліку.

5 У системі координат на площині осі утворюють гострий кут.

6 Вісь Ох називається аплікатою.

7 Вісь Оу називається ординатою.

8 Метод координат у математиці створив грецький учений Гіпарх.

9 Декарт ввів латинські букви для позначення невідомих, коефіцієнтів, степенів.

10 Декарт займався тільки математикою.

Завдання 17 Складіть план, за яким можна розповісти про координати, використовуючи інформацію всіх текстів. Розкажіть текст за цим планом.



загрузка...