Завдання 1 Прочитайте і запишіть словосполучення. Визначте за словником значення нових слів:
характеризуватися числом і напрямом;
мати векторний характер;
відкладати вектор від точки (відкласти вектор від точки):
служити прикладом векторних (скалярних) фізичних величин;
бути представником;
позначатися буквою (символом, знайомий);
знаходити за допомогою правила;
виконуватися за добре знайомими правилами;
вважатися рівним;
задовольняти умові (умовам).
Завдання 2 Прочитайте речення, зверніть увагу на словосполучення, близькі за значенням. Поставте запитання до виділених слів.
1 Поняття вектора було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. = Поняття вектора охоче сприйняли багато математиків і фізиків.
2 Вектори використовуються в різних науках, не говорячи вже про застосування векторів у різних сферах математики. = Вектори використовуються в різних науках, особливо в різних сферах математики.
3 Назвемо основні операції, пов’язані з векторами. = Назвемо основні дії, пов’язані з векторами.
4 У цьому полягає зручність векторних операцій. = Цим зручні векторні операції.
Завдання 3 Визначте склад спільнокореневих слів. Складіть з ними речення.
Переміщати – перемістити – переміщення.
Поєднувати – поєднання.
Асоціація – асоціативний – асоціативність.
Завдання 4 Прочитайте текст «Вектор». Відповідайте на запитання:
Що таке вектор?
Чим він характеризується?
Які фізичні величини є векторними?
Де застосовуються вектори?
Які вектори існують?
Які операції можна виконати з векторами.
Текст 1
Вектор
Вектор – одне з основних геометричних понять. Вектор характеризується числом (довжиною) і напрямом. Його зображують у вигляді напрямленого відрізка, хоча правильніше мати на увазі цілий клас напрямлених відрізків, які всі паралельні між собою, мають однакову довжину і однаковий напрям. Прикладами фізичних величин, які мають векторний характер, можуть служити швидкість, прискорення, сила та ін.
Поняття вектора з’явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана й ірландського математика У. Гамільтона. Потім воно було сприйняте багатьма математиками і фізиками. У сучасній математиці і її додатках це поняття відіграє найважливішу роль. Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея – Ньютона (у її сучасному викладенні), у теорії відносності, квантовій фізиці, у математичній економіці й багатьох інших розділах природознавства, не говорячи вже про застосування векторів в різних сферах математики.
Існують різні вектори: нульовий вектор, одиничний вектор, протилежні вектори, колінеарні вектори, компланарні вектори та ін. Назвемо основні операції, пов’язані з векторами.
1 Відкладання вектора від точки. Нехай а – деякий вектор і А – точка. Серед напрямлених відрізків, що є представниками вектора а, є напрямлений відрізок, який починається в точці А. Кінець В цього напрямленого відрізка називається точкою, що виходить у результаті відкладання вектора а від точки А.
Ця операція має таку властивість: для будь-якої точки А і будь-якого вектора а існує одна і тільки одна точка В, для якої АВ = а.
2 Додавання векторів. Нехай а і b – два вектори. Візьмемо довільну точку А і відкладемо вектор а від точки А, тобто знайдемо таку точку В, що АВ = а. Потім від точки В відкладемо вектор b, тобто знайдемо таку точку С, що ВС = b. Вектор АС називається сумою векторів а і b та позначається як а + b. Із визначення суми векторів випливає, що для будь-яких трьох точок А, В, С справедлива рівність 7 = АС («правило трьох точок»). Якщо ненульові вектори а і b не паралельні, то їх суму зручно знаходити за допомогою правила паралелограма. Сума кількох векторів визначається послідовним знаходженням суми двох із них. Геометрично сума кількох векторів може бути отримана таким чином: треба відкласти напрямлені відрізки один за одним так, щоб початок наступного напрямленого відрізка (вектора) збігався з кінцем попереднього (наприклад, АВ, ВС, CD, DE ), тоді відрізок АЕ і буде сумою даних векторів.
3 Множення вектора на число. Нехай а – ненульовий вектор і k – відмінне від нуля число. Через kа позначається вектор, що визначається такими двома умовами:
1) довжина вектора kа дорівнює | k| · |а|;
2) вектор kа паралельний вектору а, причому його напрям збігається з напрямом вектора а, якщо k > 0 і протилежний йому, якщо k < 0. Якщо справедливою є хоча б одна із рівностей а = 0, k = 0, то добуток kа вважається рівним 0.
Таким чином, добуток kа визначений для будь-якого вектора а і будь-якого числа k.
Зазначені операції з векторами багато в чому подібні до операцій додавання і множення чисел. У цьому полягає зручність векторних операцій: обчислення з векторами виконуються за добре знайомими правилами. У той самий час вектор – геометричний об’єкт, і у визначенні векторних операцій використовуються такі геометричні поняття, як довжина і кут; цим і пояснюється користь векторів для геометрії (і її додатків до фізики та інших галузей знання).
Завдання 5 Складіть план прочитаного тексту.
Завдання 6 Прочитайте текст «Основні поняття». Скажіть, які пункти складеного вами плану можна доповнити інформацією цього тексту.
Текст 2
Основні поняття
Вектором називається напрямлений відрізок. Якщо початок вектора знаходиться в точці А, кінець – у точці В, то вектор позначається символом АВ або АВ. Початок вектора називають також точкою його прикладання. Вектор іноді позначається однією малою буквою жирного шрифту а, b і т.ін., або такою самою буквою світлого шрифту з рискою вгорі а, b і т.п.
Модулем вектора а називається його довжина, він позначається через |а| або просто а. Модуль вектора – скалярна негативна величина.
Нулъ-вектором (або нульовим вектором) називається вектор, початок і кінець якого збігаються. Нуль-вектор позначається символом 0. Його модуль дорівнює 0, а напрям не визначений.
Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.
Вектори, які лежать на паралельних або на одній прямій, називаються колінеарними (вектори CD і MN, KL і MN, CD і KL).
Колінеарні вектори, що мають однакові напрями і довжини, називаються рівними (ВС = AD) Якщо вектори АВ і CD мають протилежні напрями, то вони не рівні АВ ? CD ; АВ = CD.
Зазначимо, що ОМ1 ? ОМ2, де М1, М2 – дві різні точки кола з радіусом R і центром О, оскільки вектори ОМ1 і ОМ2 мають різні напрями.
Вектори, які мають протилежні напрямки та рівні за довжиною, називаються протилежними (вектор АВ і CD). Вектор, протилежний вектору а, позначається –а.
Вектори, які лежать у паралельних площинах (або в одній площині), називаються компланарними.
Вектор, точка прикладання якого може бути вибрана довільно, називається вільним.
Завдання 7 За допомогою таблиці дайте визначення різних векторів.
Назва вектора
Модуль
Напрям
Інші властивості
Нульовий
0
не визначений
Одиничний
1
Колінеарні:
- рівні
- протилежні
рівні
рівні
однакові протилежні
на | |-их прямих
або на одній прямій
Компланарні
у | |-их площинах (або в одній)
Вільний
початок довільний
Завдання 8 Виконайте такі дії, поясніть їх.
1 Нарисуйте нульовий вектор, позначте модуль і напрям.
3 Нарисуйте декартові координати в просторі. Які це вектори?
Завдання 9 Прочитайте текст 3, порівняйте його з текстом 1. Скажіть, про які операції з векторами ви прочитали в тексті 1, а яка інформація нова? Доповніть план тексту 1.
Текст 3
Лінійні операції над векторами
Лінійними операціями над векторами називають додавання, віднімання, множення вектора на число.
1 Складання векторів. Сумою векторів а і b називається третій вектор с, початок якого збігається з початком вектора а, а кінець – з кінцем вектора b за умови, що вектор b відкладений з кінця вектора а. Вектор с виходить за правилом трикутника або паралелограма (рис. 1).
Аналогічно визначається сума трьох і більше векторів. Сумою п векторів a1, a2 ..., ап називається вектор, початок якого збігається з початком першого вектора a1, кінець – з кінцем останнього ап за умови, що кожний наступний вектор ак+1 відкладений з кінця попереднього ак (k = 1,2 ..., n – 1).
Сума векторів має властивість комутативності (рис. 2):
а + b = b + а
і властивістю сполучності (асоціативності):
(а + b) + с = а + (b + с).
Сума трьох некомпланарних векторів а, b, с визначається і за правилом паралелепіпеда: сума а + b + с рівна вектору OD, де OD – діагональ паралелепіпеда, побудованого на векторах
ОА = а, ОВ = b, ОС = с, відкладених з однієї точки (рис. 3).
З визначення суми випливає, що а + 0 = а; а + (–а) = 0.
2 Віднімання векторів. Різницею а – b двох векторів а і b називається такий вектор d, який у сумі з вектором b дає вектор а:
а – b = d, якщо b + d = а.
Щоб отримати різницю а – b двох векторів а і b, необхідно відкласти їх з однієї точки і з’єднати кінець другого вектора з кінцем першого (рис. 4).
1 Різниця а – b дорівнює сумі двох векторів а і (–b), де (–b) – вектор, протилежний вектору b (рис. 5), тобто а – b = а + (-b).
Вектори – діагоналі паралелограма ОАСВ (рис. 6), побудова-ного на векторах ОА= а, ОВ = b, є відповідно сумою і різницею цих векторів.
3 Множення векторів. Добутком вектора а на число а називається вектор b = ? а, що задовольняє умовам:
1) b = ? а;
2) b і а однаково напрямлені, якщо а > 0;
3) b і а мають протилежні напрями, якщо а < 0.
Очевидно, b = 0, якщо ? = 0 або а = 0.
Добуток вектора на число має такі властивості:
1 ?(?а)= (??) а; ? (а + b) = ?a + ?b; (? +?) а = ?a + ?а.
2 Добуток числа на суму векторів дорівнює сумі добутків числа на кожний вектор.
3 Добуток вектора на суму чисел дорівнює сумі добутків вектора на кожне число.
Завдання 10 Відповідайте на запитання.
1 Що є сумою векторів АВ і ВС?
2 Як знайти суму трьох і більше векторів? Нарисуйте.
3 Як називається такий спосіб побудови?
4 Які властивості має сума векторів?
5 Як знайти суму трьох некомпланарних векторів?
Завдання 11 Закінчіть речення, використовуючи інформацію прочитаних текстів.
1 Вектор характеризується ... .
2 Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається ... .
3 Довжина одиничного вектора дорівнює ... .
4 Колінеарні вектори лежать на ... .
5 Рівні колінеарні вектори мають ... .
6 Якщо вектори мають протилежні напрями, вони ... .
7 Компланарні вектори лежать у ... .
8 Вектор, початок якого вибраний довільно ... .
9 Сума векторів визначається за правилом ... .
10 Різницю двох векторів можна отримати, якщо відкласти їх ... .
11 Вектором називається ... .
12 Операції складання і множення векторів схож і… .
