ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ

ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ

Лінійним рівнянням з n невідомими називається рівняння вигляду , де х1, х2, …, хn – невідомі, які входять у це рівняння у першому степені (лінійно), a1, a2, …, an – дані числа, що називаються коефіцієнтами при невідомих, число b називається вільним членом рівняння.

Наприклад, рівняння  є лінійним рівнянням з трьома невідомими, а рівняння  є рівнянням з трьома невідомими, але не є лінійним, оскільки містить добуток невідомих .

Рівняння називається однорідним, якщо вільний член b = 0.

Розв’язком рівняння називається такий впорядкований набір чисел , при підставленні яких у дане рівняння замість невідомих  відповідно (тобто замість  підставляємо , замість  підставляємо  і т.д.) воно перетворюється у числову рівність (тотожність):

.

Далі упорядкований набір (сукупність) n чисел вигляду  називають n-вимірним арифметичним вектором, а числа  – першою координатою (компонентою),  – другою координатою і т.п. цього вектора.

У загальному випадку систему m лінійних рівнянь з n невідомим записують у такому вигляді:

    , де  – невідомі,

 – матриця коефіцієнтів при невідомих,

 – стовпець вільних членів.

Систему можна записати скорочено у такому вигляді:

.

Розв’язком системи лінійних рівнянь називається впорядкований набір чисел , якщо при підстановці замість невідомого  числа  (I = 1, 2, …, n) усі рівняння системи перетворюються на тотожності.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків. Система, яка має більше ніж один розв’язок, називається невизначеною.