ВИСЛОВЛЮВАННЯ І ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

ВИСЛОВЛЮВАННЯ І ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

Поняття висловлювання, як і поняття множини, не означають, а дають йому описову характеристику з використанням багатьох прикладів. Зокрема, до висловлювань відносять розповідні речення, які можна охарактеризувати як істинні або хибні.

Таким чином, під висловлюванням розуміють таке речення, яке є істинним або хибним. Відповідь на запитання про істинність чи хибність даного висловлювання дає та галузь науки чи людської діяльності, до якої воно належить.

Розглянемо приклади:

1) Київ – столиця України;

2) ;

3);

4) існують натуральні числа x, y, z, для яких ;

5) квадрат будь-якого дійсного числа невід’ємний;

6) x + 2y < 1;

7) відкрийте книгу на десятій сторінці.

Серед наведених речень 1–5 є висловлюваннями, причому 1, 3, 4, 5 – істинні, а 2 – хибне. Речення 6 і 7 не належать до висловлювань.

Висловлювання позначають великими латинськими буквами (з індексами або без них): A, B, C1, C2,... Ці букви називають висловлювальними змінними. У математичній логіці висловлювання вивчають тільки з погляду того, істинні вони чи хибні, не цікавлячись їх конкретним змістом.

Тому для довільного висловлювання A введемо його значення істинності |A| за таким правилом:

Наприклад, якщо позначимо A висловлювання « – раціональне число», а B – висловлювання «залізо – це метал», то матимемо |A| = 0, |B| = 1.

Усі висловлювання можна поділити на прості і складні. Просте висловлювання – це таке висловлювання, яке не утворене з інших висловлювань, а складне висловлювання утворюється з простих висловлювань. Наприклад, висловлювання «2 + 3 = 8» є простим, а висловлювання «Якщо 36 ділиться на 2 і 36 ділиться на 3, то 36 ділиться на 6» є складним. 

У математичній логіці прості висловлювання розглядаються як цілі, неподільні, їх внутрішню структуру не аналізують. Навпаки, визначення істинності чи хибності складних висловлювань є одним із завдань логіки. 

Складні висловлювання одержують з більш простих за допомогою логічних операцій. При утворенні висловлювань найчастіше використовується частка не та сполучні слова і, або, якщо ..., то, ... тоді і тільки тоді, коли .... у математичній логіці їм відповідають певні логічні операції.

Запереченням висловлювання A називається таке висловлювання , яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлювання A істинне.

|A|	||
0	1
1	0

Висловлювання  читається «не A». Означення заперечення висловлювання можна подати у вигляді таблиці.

Наприклад, якщо A – «Дніпро впадає в Чорне море», то  – «Неправильно, що Дніпро впадає в Чорне море». При цьому |A| = 1, || = 0.

Заперечення є 1-арною (або унарною) алгебраїчною операцією на множині висловлювань: кожному висловлюванню зіставляється його заперечення. Усі інші логічні операції, які розглядаються нижче, є бінарними алгебраїчними операціями на множині всіх висловлювань.

кон’юнкцією двох висловлювань A і B називається таке висловлювання, яке істинне тоді і тільки тоді, якщо істинні обидва висловлювання A і B.

Кон’юнкція висловлювань A та B позначається  або A&B і читається «A і B».

Нехай, наприклад, A – «7 – просте число», B – «3 + 5 < 6». Тоді  – «7 – просте число і 3 + 5 < 6». Оскільки |A| = 1,

|B| = 0, то за означенням || = 0.

Диз’юнкцією двох висловлювань A і B називається таке висловлювання, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибні обидва висловлювання A і B.

Диз’юнкція висловлювань A та B позначається  і читається «A або B».

Нехай, наприклад, A – «Алюміній – газ», B – «Вода – рідина». Тоді  – «Алюміній – газ або вода – рідина». Оскільки |A| = 0, |B| = 1, то || = 1.

імплікацією двох висловлювань A і B називається таке висловлювання, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлювання A істинне, а висловлювання B хибне.

Імплікація висловлювань A і B позначається  і читається «Якщо A, то B» або «A імплікує B». При цьому висловлювання A називають умовою імплікації, а висловлювання B – наслідком імплікації.

Нехай, наприклад, A – «18 > 24», B – «18 < 20». Тоді  – «Якщо 18 > 24, то 18 < 20»,  – «Якщо 18 < 20, то 18 > 24». Оскільки |A| = 0, |B| = 1, то ||=1, || = 0.

Еквіваленцією двох висловлювань A і B називається таке висловлювання, яке істинне тоді і тільки тоді, коли висловлювання A і B істинні або хибні одночасно.

Еквіваленція висловлювань A і B позначається  і читається «A тоді і тільки тоді, коли B».

Нехай, наприклад, A – «функція y = x2 парна», B – «функція  обмежена». Тоді  – «функція y = x2 парна тоді і тільки тоді, коли функція  обмежена». Оскільки

|A| = |B| = 1, то ||=1.

Виходячи з означень логічних операцій над висловлю-ваннями, можна знайти значення істинності якого завгодно складного висловлювання. При цьому слід враховувати порядок виконання логічних операцій. За домовленістю логічні операції виконуються в такому порядку (якщо інший не вказаний дужками): , тобто заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція.

Висловлювання (просте або складне), записане за допомогою висловлювальних змінних з використанням логічних операцій, називають логічною формулою. Таким чином, завжди можна знайти значення істинності будь-якої логічної формули, якщо задане значення висловлювальних змінних, що входять у цю формулу.

Приклад. Обчислити значення істинності формули

,

якщо |A| = |B| = 1, |C| = 0.

Розв’язання. || = 1, || = 0, || = 0, || = 0, || = 1.

При обчисленні значень істинності формули, що відповідають усім можливим наборам значень її висловлювальних змінних, одержані результати зручно записувати у вигляді таблиці, яку називають таблицею істинності даної формули.

Приклад. скласти таблицю істинності формули

.

Розв’язання. Оскільки формула містить три висловлювальні змінні A, B і C , то таблиця матиме 23 = 8 рядків. Складемо цю таблицю.

Останній стовпець таблиці містить усі можливі значення формули, що відповідають відповідним наборам значень A, B і C, вказаних у перших трьох стовпцях таблиці.