1.2 Вільні коливання систем з одним ступенем вільності

1.2 Вільні коливання систем з одним ступенем вільності

При розгляді вільних коливань системи з одним ступенем вільності (рисунок 1) диференціальне рівняння коливань можна скласти на підставі рівняння Лагранжа другого роду:

(1)

де q – узагальнена координата;

Т – кінетична енергія системи;

П – потенціальна енергія системи;

R – дисипативна функція.

 

Рисунок 1 – Приклади систем з одним ступенем вільності

При цьому для системи з одним ступенем вільності мають місце наступні вирази:

(2)

де m, c, ? – відповідно коефіцієнти інерції, жорсткості й демпфірування.

Підстановкою виразів (2) у рівняння (1) отримаємо диференціальне рівняння вільних коливань одномасової системи:

(3)

При відсутності демпфірування отримаємо:

(4)

Розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді:

(5)

де А – амплітуда коливань;

? – власна частота вільних коливань;

? – початкова фаза коливань.

Підстановкою розв’язку (5) у рівняння (4) отримуємо:

(6)

звідки знаходимо власну частоту системи:

(7)