1.4 Системи зі скінченним числом ступенів вільності 1.4.1 Диференціальні рівняння коливань
Реальну механічну систему, що має нескінченне число ступенів вільності, для спрощення моделюють дискретною системою зі скінченним числом ступенів вільності. Відхилення (переміщення) системи з N ступенями вільності від положення рівноваги визначають значення N узагальнених координат qi, які утворюють вектор-стовпець:
(16)
Положенням рівноваги механічної системи зі стаціонарними зв'язками в полі консервативних сил називається точка q = 0 (де 0 – нульовий вектор-стовпець) і відповідний стан системи, якщо її потенціальна енергія має стаціонарне значення (узагальнені координати дорівнюють нулю).
Для складання диференціальних рівнянь коливань найчастіше використовують рівняння Лагранжа другого роду, принцип Даламбера, методи будівельної механіки.
При використанні рівнянь Лагранжа другого роду необхідно перш за все скласти вирази для кінетичної й потенціальної енергій, дисипативної функції, а також вирази для узагальнених сил.
Для лінійних механічних систем зі стаціонарними зв'язками кінетична й потенціальна енергії, а також дисипативна функція є квадратичними формами
(17)
де q – вектор узагальнених координат;
М, С, R – відповідно матриці інерції, жорсткості й демпфірування, елементи яких можна обчислити за формулами
(18)
Сукупність N диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду
(19)
утворять одне матричне диференціальне рівняння
(20)
де Q – вектор-стовпець узагальнених сил
(21)
Безпосередня підстановка виразів (17) і (21) у рівняння (20) дає
(22)
або з урахуванням правил диференціювання квадратичних форм
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)