У випадку вільних незгасальних коливань матричне диференціальне рівняння (23) набуває вигляду
(24)
Частинний розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді головних (синхронних і синфазних) коливань
(25)
де и – вектор-стовпець амплітудних коефіцієнтів (форма коливань, власний вектор);
А – амплітуда головних коливань.
Підставивши розв’язок (25) у рівняння (24), отримаємо
(26)
Нетривіальний розв’язок останнього рівняння відносно вектора и існує лише у випадку, коли виконується умова
(27)
Отримане рівняння називається віковим (частотним) рівнянням.
Усі корені вікового рівняння є дійсними числами. Арифметичні значення квадратних коренів з є власними частотами коливань системи.
Упорядкована сукупність власних частот
(28)
називається спектром власних частот.
Підстановкою значення i-ї власної частоти у вираз (26) отримаємо систему (N – 1) незалежних рівнянь відносно N невідомих компонентів вектора и.
Припустивши, наприклад, що и1 = 1, отримаємо власну форму коливань системи, яка відповідає i-й власній частоті
(29)
(24)
(25)
(26)
(27)
вікового рівняння є дійсними числами. Арифметичні значення квадратних коренів з 
є власними частотами коливань системи.
(28)
(29)