Визначити власні частоти коливань пружно-масової системи з двома ступенями вільності (рисунок 3).
Рисунок 3
Розв’язання
Положення системи в будь-який момент часу можна характеризувати двома узагальненими координатами q1 й q2 – поздовжніми переміщеннями мас т1 і т2 відповідно.
Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій руху двох мас
Компоненти матриці інерції
Матриця інерції набуває вигляду
Потенціальна енергія системи дорівнює сумі внутрішніх енергій деформації двох лінійних пружних елементів
Компоненти матриці жорсткості:
Матриця жорсткості системи
Частотне рівняння (27) набуває вигляду
або
Зокрема, при т1 = т2 = т і с1 = с2 = с отримаємо біквадратне рівняння
звідки знаходимо
Форми коливань визначаємо з матричного рівняння (26)
Припускаючи, що q1 = 1, отримаємо
Для першої власної форми коливань ( ) отримаємо (рисунок 4б)
Для другої власної форми коливань ( ) отримаємо (рисунок 4в)
а) б) в)
Рисунок 4
Приклад 2
Побудувати амплітудно-частотні характеристики системи (рисунок 5).
Рисунок 5
Розв’язання
Кінетична енергія системи
Компоненти матриці інерції:
Матриця інерції
Потенціальна енергія системи
Компоненти матриці жорсткості:
Матриця жорсткості системи
Дисипативна функція системи
Компоненти матриці демпфірування:
Матриця демпфірування системи
Динамічна матриця податливості (35)
Вектор узагальнених зовнішніх сил
Вектор комплексних амплітуд (34)
Зокрема, при т1 = т2 = т, с1 = с2 = с, ?1 = ? і ?2 = 0 отримаємо
За формулою (37) отримуємо аналітичні вирази амплітудно-частотних характеристик (рисунок 6)
Рисунок 6
Як видно з рисунка 6, амплітуда коливань маси т1 при частоті сили, що дорівнює першій парціальній частоті двомасової системи, дорівнює нулю. Це явище отримало назву антирезонансу та набуло широкого застосування в техніці як обґрунтування одного з методів зниження вібраційного стану машин.
В розглянутому прикладі маса т2 є динамічним гасником коливань маси т1 при частоті зовнішнього збудження .
) отримаємо (рисунок 4б)
) отримаємо (рисунок 4в)
.