2 ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ СИСТЕМ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ 2.1 Основні поняття та визначення

2 ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ СИСТЕМ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ 2.1 Основні поняття та визначення

Системи, які мають безперервний розподіл фізичних параметрів (жорсткості, маси, характеристик демпфірування і т.д.), називаються континуальними. Для таких систем закон коливального руху визначається функціями декількох змінних (часу й просторових координат), а диференціальні рівняння коливань є рівняннями з частинними похідними.

Моделі систем з розподіленими параметрами (континуальних систем) поділяються на три групи:

1) одновимірні – одна просторова координата й час (стрижень, балка, струна);

2) двовимірні – дві просторові координати й час (пластина, оболонка);

3) тривимірні – три просторові координати й час (пружне тіло, рідина, газ).

Коливання ізотропного пружного тіла густиною ? визначаються рівняннями Ламе, які у матричній формі мають такий вигляд:

(38)

або в скалярній формі

(39)

де ?, ? – параметри Ламе, які можна виразити через модуль пружності Е та коефіцієнт Пуассона ? у такий спосіб:

(40)

и – вектор переміщень:

(41)

F – вектор об'ємних сил

(42)

Рівняння (38) замикається граничними умовами.

З рівнянь коливань тривимірного тіла теоретично можна знайти (як окремі випадки) рівняння коливань двовимірної й одномірної моделей. У деяких випадках рівняння коливань можна вивести за допомогою кінематичних гіпотез (гіпотеза плоских перерізів, гіпотеза прямих нормалей і т.д.).