загрузка...
 
2.2 Поздовжні коливання стрижнів
Повернутись до змісту

2.2 Поздовжні коливання стрижнів

У випадку поздовжніх коливань однорідного стрижня (рисунок 7) система рівнянь (39) вироджується в одне рівняння

(43)

або з урахуванням того, що

(44)

остаточно беремо

(45)

 

Рисунок 7 – Стрижень із різними умовами закріплення

У випадку вільних коливань стрижня рівняння (45) набуває вигляду

(46)

або

(47)

де а – швидкість поширення звукової хвилі вздовж осі стрижня

(48)

Для розв’язання рівняння (47) застосуємо метод розділення змінних

(49)

де U(x) – функція форми коливань (амплітудна функція);

Т(t) – головна координата.

Підстановка виразу (49) у рівняння (47) дає

(50)

або, розділивши змінні:

(51)

Оскільки ліва частина рівняння є функцією координати х, а права – функцією координати t, причому ці координати взаємонезалежні, то (51) розпадається на два рівняння:

(52)

де ? – постійна величина, що дорівнює власній частоті коливань.

Розв’язок першого рівняння (52) має вигляд

(53)

Дві граничних умови (рисунок 7) дають можливість визначити значення однієї константи інтегрування, а також власні частоти коливань.

Розв’язок другого рівняння (52) має вигляд

(54)

Суперпозиція частинних розв’язків являє собою загальний розв’язок вихідного рівняння (47)

(55)



загрузка...