У випадку поздовжніх коливань однорідного стрижня (рисунок 7) система рівнянь (39) вироджується в одне рівняння
(43)
або з урахуванням того, що
(44)
остаточно беремо
(45)
Рисунок 7 – Стрижень із різними умовами закріплення
У випадку вільних коливань стрижня рівняння (45) набуває вигляду
(46)
або
(47)
де а – швидкість поширення звукової хвилі вздовж осі стрижня
(48)
Для розв’язання рівняння (47) застосуємо метод розділення змінних
(49)
де U(x) – функція форми коливань (амплітудна функція);
Т(t) – головна координата.
Підстановка виразу (49) у рівняння (47) дає
(50)
або, розділивши змінні:
(51)
Оскільки ліва частина рівняння є функцією координати х, а права – функцією координати t, причому ці координати взаємонезалежні, то (51) розпадається на два рівняння:
(52)
де ? – постійна величина, що дорівнює власній частоті коливань.
Розв’язок першого рівняння (52) має вигляд
(53)
Дві граничних умови (рисунок 7) дають можливість визначити значення однієї константи інтегрування, а також власні частоти коливань.
Розв’язок другого рівняння (52) має вигляд
(54)
Суперпозиція частинних розв’язків являє собою загальний розв’язок вихідного рівняння (47)