загрузка...
 
3 МЕТОД СКІНЧЕНнИХ ЕЛЕМЕНТІВ ПРИ РОЗВ’ЯЗАННІ ЗАДАЧ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ 3.1 Рівняння динаміки
Повернутись до змісту

3 МЕТОД СКІНЧЕНнИХ ЕЛЕМЕНТІВ ПРИ РОЗВЯЗАННІ ЗАДАЧ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ 3.1 Рівняння динаміки

В останні десятиліття поряд з аналітичними методами розв’язання задач динаміки механічних систем широкого розвитку набув метод скінченних елементів (МСЕ). В основі цього методу лежить заміна континуальної системи з розподіленими параметрами дискретною системою зі скінченним числом ступенів вільності. При цьому реальна конструкція розбивається на скінченні елементи, обмежені вузловими точками.

Розглядаючи довільний скінченний елемент, поле переміщень у його області и(х,у,z) можна виразити через вектор його вузлових переміщень q:

(64)

де Ф – матриця функцій форм (інтерполяційна матриця).

Поле переміщень и(х,у,z) пов'язане з полем деформацій ?(х,у,z) за допомогою формул Коші [6], що можна записати в матричному вигляді:

(65)

де D – матриця операторів диференціювання.

Підстановка виразу (64) у формулу (65) дає

(66)

де В – матриця Коші:

(67)

Зв'язок між полями деформацій ?(х,у,z) і напружень ?(х,у,z) встановлюється за допомогою узагальненого закону Гука, що в матричній формі має вигляд

(68)

де А – матриця узагальненого закону Гука.

Підстановка виразу (66) в (68) дає

(69)

У випадку континуальної моделі динамічної системи квадратична форма кінетичної енергії має вигляд

(70)

де ?(х,у,z) – функція густини матеріалу елемента;

? – область інтегрування, що відповідає скінченному елементу.

З урахуванням формули (64) вираз для кінетичної енергії набуває вигляду

(71)

де М – матриця інерції скінченного елемента

(72)

Квадратична форма потенціальної енергії елемента

(73)

З урахуванням виразів (66) і (69) отримаємо

(74)

де С – матриця жорсткості елемента

(75)

Для опису руху скінченного елемента за відсутності розсіювання енергії застосуємо рівняння Лагранжа другого роду в матричному вигляді:

(76)

де F – вектор узагальнених сил, що обчислюється за формулою

(77)

р(x,y,z) – функція розподілу навантаження, що діє на елемент.

Підстановка квадратичних форм (71) і (74) у рівняння (76) після нескладних перетворень приводить до диференціального рівняння руху скінченного елемента в матричній формі запису

(78)

Визначення власних частот і відповідних форм вільних коливань системи називається модальним аналізом. Модальний аналіз проводиться на підставі розв’язання однорідного рівняння

(79)

Побудова амплітудно-частотних і фазових частотних характеристик системи при гармонійному збудженні називається гармонійним аналізом. Гармонійний аналіз проводиться на підставі розв’язання диференціального рівняння

(80)

де Р – вектор амплітудних значень узагальнених сил;

? – частота зовнішніх збуджень.



загрузка...