3 МЕТОД СКІНЧЕНнИХ ЕЛЕМЕНТІВ ПРИ РОЗВ’ЯЗАННІ ЗАДАЧ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ 3.1 Рівняння динаміки
В останні десятиліття поряд з аналітичними методами розв’язання задач динаміки механічних систем широкого розвитку набув метод скінченних елементів (МСЕ). В основі цього методу лежить заміна континуальної системи з розподіленими параметрами дискретною системою зі скінченним числом ступенів вільності. При цьому реальна конструкція розбивається на скінченні елементи, обмежені вузловими точками.
Розглядаючи довільний скінченний елемент, поле переміщень у його області и(х,у,z) можна виразити через вектор його вузлових переміщень q:
(64)
де Ф – матриця функцій форм (інтерполяційна матриця).
Поле переміщень и(х,у,z) пов'язане з полем деформацій ?(х,у,z) за допомогою формул Коші [6], що можна записати в матричному вигляді:
(65)
де D – матриця операторів диференціювання.
Підстановка виразу (64) у формулу (65) дає
(66)
де В – матриця Коші:
(67)
Зв'язок між полями деформацій ?(х,у,z) і напружень ?(х,у,z) встановлюється за допомогою узагальненого закону Гука, що в матричній формі має вигляд
(68)
де А – матриця узагальненого закону Гука.
Підстановка виразу (66) в (68) дає
(69)
У випадку континуальної моделі динамічної системи квадратична форма кінетичної енергії має вигляд
(70)
де ?(х,у,z) – функція густини матеріалу елемента;
? – область інтегрування, що відповідає скінченному елементу.
З урахуванням формули (64) вираз для кінетичної енергії набуває вигляду
(71)
де М – матриця інерції скінченного елемента
(72)
Квадратична форма потенціальної енергії елемента
(73)
З урахуванням виразів (66) і (69) отримаємо
(74)
де С – матриця жорсткості елемента
(75)
Для опису руху скінченного елемента за відсутності розсіювання енергії застосуємо рівняння Лагранжа другого роду в матричному вигляді:
(76)
де F – вектор узагальнених сил, що обчислюється за формулою
(77)
р(x,y,z) – функція розподілу навантаження, що діє на елемент.
Підстановка квадратичних форм (71) і (74) у рівняння (76) після нескладних перетворень приводить до диференціального рівняння руху скінченного елемента в матричній формі запису
(78)
Визначення власних частот і відповідних форм вільних коливань системи називається модальним аналізом. Модальний аналіз проводиться на підставі розв’язання однорідного рівняння
(79)
Побудова амплітудно-частотних і фазових частотних характеристик системи при гармонійному збудженні називається гармонійним аналізом. Гармонійний аналіз проводиться на підставі розв’язання диференціального рівняння
(80)
де Р – вектор амплітудних значень узагальнених сил;