3.3 Коливання стрижневих систем 3.3.1 Стрижневий двовузловий елемент

3.3 Коливання стрижневих систем 3.3.1 Стрижневий двовузловий елемент

Розглянемо стрижневий елемент густиною ?, довжиною l, площею поперечного перерізу А та модулем пружності Е (рисунок 20).

 

Рисунок 20 – Стрижневий двовузловий елемент

Виведемо матриці жорсткості та інерції елемента, обравши локальні координати таким чином, щоб вісь х збігалася з поздовжньою віссю стрижня. У розглянутому випадку вузлами будуть кінці стрижня i, j, у яких діють сили Fi й Fj, спрямовані вздовж осі х. Переміщення вузлів внаслідок дії зовнішнього навантаження позначимо ui, uj.

Поле переміщень усередині елемента можна подати у вигляді

(87)

де Ф – матриця функцій форм елемента (рисунок 21):

 (88)

q – вектор-стовпець вузлових переміщень:

     (89)

 

Рисунок 21 – Функції форми стрижневого елемента

За формулою (72) визначаємо матрицю інерції елемента

   (90)

що в результаті дає

(91)

де т – маса елемента:

(92)

Матриця закону Гука для одноосного напруженого стану вироджується в модуль пружності

(93)

а матриця операторів диференціювання – в оператор диференціювання по координаті х:

(94)

Матриця Коші (67):

(95)

Таким чином, на підставі формули (75) отримаємо матрицю жорсткості елемента

(96)

(97)