3.3.3 Стрижневий тривузловий елемент

3.3.3 Стрижневий тривузловий елемент

Для отримання достатньої точності обчислення власних частот систем за допомогою МСЕ потрібно застосовувати дрібне дроблення тіла на скінченні елементи, що приводить до необхідності знаходити корені вікового рівняння досить високого порядку. Уникнути цього дозволяє введення три- та чотиривузлових скінченних елементів.

Розглянемо тривузловий стрижневий елемент з густиною ?, довжиною l, площею поперечного перерізу А та модулем пружності Е з трьома вузлами i, j, k (рисунок 32).

 

Рисунок 32 – Стрижневий тривузловий елемент

Поле переміщень усередині елемента можна інтерполювати квадратичним поліномом

(102)

Константи а0, а1, а2 визначимо з умов

(103)

або з урахуванням (102)

(104)

звідки отримуємо

(105)

Таким чином, на підставі рівняння (102) і виразів (105) можна записати

(106)

або коротко

(107)

де Ф – матриця функцій форм елемента (рисунок 33):

(108)

 

Рисунок 33 – Функції форми елемента

За формулою (72) визначаємо матрицю інерції елемента

(109)

(110)

де т – маса елемента:

(111)

Матриця Коші (3.4) з урахуванням виразів (3.31) і (3.45):

(112)

На підставі формули (75) з урахуванням формул (93) і (112) отримаємо матрицю жорсткості елемента:

(113)

(114)