Визначити перші чотири власні частоти стрижня (рисунок 34).
Рисунок 34
Розв’язання
Перейдемо від континуальної моделі до дискретної за допомогою розбиття на два тривузлових елементи е1 та е2. Це дозволяє обмежитися визначенням чотирьох перших власних частот поздовжніх коливань конструкції, оскільки визначник складеного нижче частотного рівняння буде містити чотири рядки, отже, отримаємо рівняння восьмого порядку, що має чотири корені: ?1, ?2, ?3, ?4.
Матриці інерції та жорсткості елементів е1, е2:
де маса стрижня
Матриці інерції та жорсткості системи:
Кінематична гранична умова
Запишемо частотне рівняння з урахуванням граничної умови
або в розгорнутому вигляді
де z – безрозмірна частота:
Отримане рівняння четвертого порядку відносно можна розв’язати із застосуванням програмного пакета Mathcad Professional.
Власні частоти системи в безрозмірному вигляді становлять
що відрізняється від точних значень відповідно на 0,01; 1,7; 12 і 28% (див. приклад 3).
Як бачимо, застосування двох тривузлових елементів дозволяє визначити перші власні частоти точніше, ніж застосування трьох двовузлових елементів (див. приклад 8).
Приклад 12
Визначити першу власну частоту системи, поданої на рисунку 35.
Рисунок 35
Розв’язання
Для визначення першої власної частоти достатньо розглянути один стрижневий тривузловий елемент, тому що отримане нижче частотне рівняння буде лінійним відносно ?2.
Матриці інерції та жорсткості системи
Кінематичні граничні умови
Частотне рівняння з урахуванням граничних умов
звідки знаходимо власну частоту
що перевищує точне значення на 0,7%.
Помітимо, що розв’язання даного завдання неможливе із застосуванням одного двовузлового скінченного елемента.
можна розв’язати із застосуванням програмного пакета Mathcad Professional.
на 0,7%.