3.3.4 Стрижневий чотиривузловий елемент

3.3.4 Стрижневий чотиривузловий елемент

Розглянемо стрижневий елемент з густиною ?, довжиною l, площею поперечного перерізу А і модулем пружності Е з чотирма вузлами i, j, k, т (рисунок 36).

 

Рисунок 36 – Стрижневий чотиривузловий елемент

Поле переміщень усередині елемента можна інтерполювати кубічним поліномом

(115)

тому що поліном третього ступеня містить чотири невідомі константи, для однозначного визначення яких складаються умови

(116)

або з урахуванням (115)

(117)

звідки отримуємо

(118)

Таким чином, на підставі рівнянь (115) і (118) можна записати функції форми елемента (рисунок 37)

(119)

 

Рисунок 37 – Функції форми елемента

За формулою (72) визначаємо матрицю інерції елемента

(120)

де т – маса елемента:

(121)

На підставі формули (75) отримуємо матрицю жорсткості елемента

(122)

ПРИКЛАДИ

Приклад 13

Розв’язати завдання 12, використовуючи один чотиривузловий елемент (рисунок 38):

 

Рисунок 38

Розв’язання

Матриці інерції та жорсткості системи:

 

Кінематичні граничні умови

Частотне рівняння з урахуванням граничних умов:

або в розгорнутій формі

де z – безрозмірна частота:

Знаходимо власні частоти системи

На підставі результатів, отриманих при розв’язанні прикладів 12 і 13, складемо таблицю результатів, що наочно відображає доцільність застосування тих чи інших типів скінченних елементів (таблиця 1).

Таблиця 1

	z1	z2
Точне значення	3,142	6,283
Двовузловий елемент	–	–
Тривузловий елемент	3,162	–
Чотиривузловий елемент	3,162	6,283

Приклад 14

Розв’язати завдання 3, використовуючи чотиривузловий елемент (рисунок 39):

 

Рисунок 39

Розв’язання

Матриці інерції та жорсткості системи

Кінематична гранична умова

Частотне рівняння з урахуванням граничної умови

звідки знаходимо власні частоти системи

що відрізняється від точних значень відповідно на 0,01; 2,6; і 33% (див. приклад 3).

На підставі результатів, отриманих при вирішенні завдань 3, 8, 11 та 14, складемо таблицю результатів, що відображає доцільність застосування тих чи інших типів скінченних елементів (таблиця 2).

Таблиця 2

	z1	z2	z3	z4
Точне значення	1,571	4,712	7,854	10,996
Двовузловий елемент	1,732	–	–	–
Три двовузлові елементи	1,589	5,196	9,427	–
Два тривузлові елементи	1,571	4,790	8,779	14,096
Чотиривузловий елемент	1,571	4,836	10,447	–

Слід зауважити, що для визначення першої власної частоти коливань досить застосувати скінченний елемент першого порядку. Для зниження похибки обчислень необхідний розгляд багатовузлових елементів. Але при цьому вищі власні частоти системи будуть визначені тим точніше, чим буде прийнята більша дискретизація континуальної моделі.