ПРИКЛАДИ

ПРИКЛАДИ

Приклад 17

Визначити власну частоту коливань стрижня (рисунок 46).

 

 

Рисунок 46

Розв’язання

Представимо систему у вигляді двох скінченних елементів: абсолютно твердого стрижня е1 і пружини е2.

Кінетична енергія системи дорівнює кінетичній енергії обертання стрижня навколо осі, що проходить через циліндричний шарнір 1:

Потенціальна енергія системи складається з потенціальної енергії положення центра мас стрижня та енергії деформації пружини (рисунок 47):

 

Рисунок 47

Коефіцієнти інерції та жорсткості конструкції визначаємо за формулою (18)

Частотне рівняння набуває вигляду

Власна частота коливань стрижня є коренем частотного рівняння

Приклад 18

Визначити власні частоти й форми коливань конструкції, наведеної на рисунку 48.

 

Рисунок 48

Розв’язання

Обмежимося знаходженням двох власних частот системи, вважаючи стрижень абсолютно жорстким.

Матриця інерції елемента е1:

Матриця інерції системи

Матриці жорсткості елементів е2, е3:

Матриця жорсткості системи

Кінематичні граничні умови

Частотне рівняння з урахуванням граничних умов

звідки знаходимо власні частоти системи

Власні форми коливань визначаються з рівняння

Вважаючи, що v1 = 0, знаходимо:

1) перша власна форма ( ) (рисунок 49а):

2) друга власна форма ( ) (рисунок 49б):

 

                      а)                                                б)

Рисунок 49

Як бачимо, перша форма являє собою поперечні коливання стрижня, друга – крутильні коливання навколо центра мас.