3.4 Коливання балок 3.4.1 Балковий двовузловий елемент
Розглянемо балковий елемент, що являє собою прямолінійний брус густиною ?, довжиною l, площею поперечного перерізу А, моментом інерції перерізу I і модулем пружності Е, обмежений вузлами i та j (рисунок 50).
Рисунок 50 – Балковий двовузловий елемент
Функцію прогину усередині елемента інтерполюємо кубічним поліномом
(137)
Функція кутів повороту набуває вигляду
(138)
Параметри а0, а1, а2, а3 однозначно визначимо з таких умов
(139)
Розв’язуючи останню систему рівнянь, отримаємо:
(140)
Таким чином, вираз (137) набуває вигляду
(141)
або в матричній формі
(142)
де Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 – функції форми елемента (рисунок 51):
(143)
Рисунок 51 – Функції форми балкового елемента
За формулою (72) з урахуванням виразів (143) визначаємо матрицю інерції елемента
(144)
де т – маса елемента:
(145)
Для випадку поперечного прогину балки внутрішня потенціальна енергія прогину визначається за формулою
(146)
або з урахуванням формули (141):
(147)
На підставі формули (18) отримаємо матрицю жорсткості балкового двовузлового елемента