ПРИКЛАДИ

ПРИКЛАДИ

Приклад 19

Визначити власні частоти поперечних коливань балки (рисунок 52).

 

Рисунок 52

Розв’язання

Обмежимося визначенням перших двох власних частот конструкції. Для цього перейдемо від континуальної системи (з розподіленою масою) до дискретної за допомогою подання її у вигляді одного скінченного елемента.

У цьому випадку з урахуванням умов закріплення балковий скінченний елемент буде мати два ступені вільності – кути повороту поперечних перерізів лівого й правого кінців (?1 і ?2 відповідно).

Матриці інерції та жорсткості системи:

де т – маса балки:

Кінематичні граничні умови

Частотне рівняння з урахуванням кінематичних граничних умов

або

де z – безрозмірна частота:

Корінь біквадратного рівняння є власними частотами в безрозмірному вигляді

Отримані значення відрізняються від точних, отриманих при розгляді континуальної моделі, відповідно на 11 й 27% (див. приклад 4).

Визначаємо перші дві власних форми коливань, розв’язуючи матричне рівняння відносно ?1 й ?2 з точністю до постійного множника:

Вважаючи, що  = 1, отримаємо:

1) перша форма ( ):

2) друга форма ( ):

Для побудови функції прогину, що відповідає кожній із форм, скористаємося виразом (141):

1) перша форма (рисунок 53а):

2) друга форма (рисунок 53б):

 

                       а)                                                      б)

Рисунок 53

Відмітимо, що при розгляді континуальної моделі перша форма відповідає одній півхвилі синусоїди, а друга – двом півхвилям синусоїди:

Приклад 20

Дослідити вплив жорсткості с пружного елемента на перші дві власні частоти системи, наведеної на рисунку 54.

 

Рисунок 54

Розв’язання

Представимо розглянуту конструкцію у вигляді двох скінченних елементів: балки е1 і пружини е2. Така система буде мати два ступені вільності – прогин і кут повороту перерізу 2.

Матриця інерції елемента е1:

Матриці жорсткості елементів е1, е2:

Кінематичні граничні умови

Перепишемо матриці інерції та жорсткості системи з урахуванням кінематичних граничних умов:

Частотне рівняння

або

де введені такі позначення:

z – безрозмірна частота:

с0 – коефіцієнт жорсткості балки:

Розв’язуючи отримане біквадратне рівняння відносно z при різних співвідношеннях , отримаємо такі графіки, що характеризують вплив жорсткості пружного елемента на перші дві власні частоти коливань балки (рисунок 55).

 

Рисунок 55

Розглянемо два крайніх випадки. За відсутності додаткової пружної опори (с = 0) (рисунок 56а):

У випадку шарнірного обпирання у вузлі 2 ( ) (рисунок 56б):

 

                      а)                                                       б)

Рисунок 56