Розв’язати завдання 19, використовуючи балковий тривузловий елемент (рисунок 59).
Рисунок 59
Розв’язання
Розглянута модель у скінченно-елементному формулюванні має чотири ступені вільності: кути повороту перерізів 1, 2 ,3, а також прогин у вузлі 2.
Кінематичні граничні умови
Матриці інерції та жорсткості системи з урахуванням граничних умов
Частотне рівняння
звідки можна знайти власні частоти системи
Отримані результати відрізняються від точних значень відповідно на 0,03; 0,4; 48 та 75%.
На підставі результатів розв’язання задач 4, 19, 21 складемо таблицю результатів, що наочно відображає доцільність застосування тих або інших типів балкових скінченних елементів (таблиця 3).
Таблиця 3
z1
z2
z3
z4
Точне значення
9,870
39,478
88,826
157,914
Двовузловий елемент
10,954
50,200
–
–
Тривузловий елемент
9,873
36,646
131,812
276,022
Таким чином, застосування тривузлового елемента дозволило з більшою точністю визначити перші дві власні частоти системи, у той час як вищі частоти визначені з великою похибкою.
Приклад 22
Визначити власні частоти системи (рисунок 60)
Рисунок 60
Розв’язання
Помітимо, що поставлене завдання неможливо розв’язати шляхом дискретизації системи двовузловим балковим елементом. Але застосування тривузлового елемента дозволить встановити перші дві власні частоти даної конструкції.
Кінематичні граничні умови
Матриці інерції та жорсткості системи з урахуванням граничних умов:
Отримуємо частотне рівняння
розв’язуючи яке, знаходимо власні частоти системи
Визначаємо перші дві власні форми коливань, розв’язуючи матричне рівняння відносно v2 і ?2 з точністю до постійного множника:
1) перша форма ( ):
2) друга форма ( ):
Для побудови функції прогину, що відповідає кожній з форм (рисунок 61), скористаємося формулами (153) і (155):
):
):
