Дослідити власні коливання конструкції, наведеної на рисунку 68.
Рисунок 68
Розв’язання
Представимо розглянуту конструкцію як сукупність двох рамних скінченних елементів е1 та е2.
Матриця трансформації елемента е1 ( ) визначимо за формулою (172):
Таким чином, визначаємо матриці інерції та жорсткості елемента е1 за формулою (171):
Матриці інерції та жорсткості елемента е2:
Кінематичні граничні умови:
Матриці інерції та жорсткості системи з урахуванням граничних умов:
Частотне рівняння
Тут с1 і с2 – коефіцієнти жорсткості відповідно при розтяганні-стисканні та згинанні.
Розглянемо окремі випадки:
1) :
де z – безрозмірна частота:
Власні частоти системи
2) :
де z – безрозмірна частота:
Власні частоти системи
3) :
де z – безрозмірна частота:
Власні частоти системи
Для другого випадку () визначимо власні форми коливань конструкції, виходячи з рівняння:
1) перша форма () (рисунок 69а):
2) друга форма () (рисунок 69б):
3) третя форма ():
а) б)
Рисунок 69
Приклад 26
Дослідити власні й вимушені коливання конструкції, поданої на рисунку 70.
Рисунок 70
Розв’язання
Представимо систему у вигляді одного скінченного двовузлового елемента із двома ступенями вільності – кутом повороту перерізу й осьовим переміщенням у вузлі 2.
Матриці інерції та жорсткості системи:
Кінематичні граничні умови
Частотне рівняння з урахуванням граничних умов
Знаходимо власні частоти системи
Власні форми коливань визначаємо з рівняння
1) перша форма ( ) (рисунок 71а):
2) друга форма ( ) (рисунок 71б):
а) б)
Рисунок 71
Перша власна форма відповідає поздовжнім коливанням стрижня (див. приклад 3), друга форма відповідає згинальним коливанням.
У скінченно-елементному формулюванні задачі необхідно замінити рівномірно розподілене навантаження еквівалентною системою узагальнених вузлових сил
Рівняння, що визначає амплітудно-частотні характеристики, має вигляд
Отримаємо
Амплітудно-частотна характеристика наведена на рисунку 72.
Рисунок 72
При частоті розподіленого осьового навантаження має місце резонанс – необмежене збільшення амплітуди осьових коливань системи.