3.5 Полігармонійний аналіз

3.5 Полігармонійний аналіз

У більшості випадків динамічні зусилля, що діють на елементи реальних конструкцій, мають нелінійний, але циклічний характер з періодом Т (рисунок 73). Тоді при скінченно-елементному моделюванні вектор узагальнених вузлових сил F буде мати властивість

(175)

 

Рисунок 73 – Періодичне зусилля

Елементи вектора узагальнених сил розкладемо в ряд Фур’є [9]:

(176)

де Р0, РC k, РS k – коефіцієнти ряду:

(177)

Розкладання в ряд Фур'є можна записати й у комплексному вигляді

(178)

де Pk – комплексні амплітудні вектори узагальнених сил:

(179)

Підстановка розкладання (179) у матричне рівняння динаміки системи (23) дає

(180)

Шукаємо розв’язання диференціального рівняння у вигляді

(181)

де Qk – комплексні амплітудні вектори вузлових переміщень.

У зв’язку з формулою (181) рівняння (180) набуває вигляду

(182)

що після нескладних перетворень приводить до виразу

(183)

звідки знаходимо комплексні амплітудні вектори вузлових переміщень

(184)

де Dk – матриці комплексних коефіцієнтів податливості:

(185)

Таким чином, розв’язок (181) рівняння (180) набуває такого вигляду:

    (186)

Таким чином, при заданому зовнішньому навантаженні, що періодично змінюється, можна визначити амплітуди коливань узагальнених координат системи (елементів вектора q).