3.6 Плоска задача теорії коливань 3.6.1 Плоский прямокутний елемент

3.6 Плоска задача теорії коливань 3.6.1 Плоский прямокутний елемент

При розв’язуванні задач коливань плоских пружних систем (пластин) із застосуванням методу скінченних елементів однією з важливих проблем є вибір типу скінченних елементів. Нижче будуть розглянуті два основних типи плоских елементів – чотирикутний і трикутний.

На початку розглянемо плоский прямокутний елемент, обмежений вузлами i, j, k, m (рисунок 78).

 

Рисунок 78 – Плоский прямокутний елемент

Вузлові переміщення для такого елемента зазначені на рисунку 78. Матриця вузлових переміщень складається з восьми компонентів ui, vi, … vm.

Поле переміщень усередині елемента інтерполюємо неповними квадратичними поліномами

(187)

При цьому параметри ?1, ?2, ?3, ?4 й ?1, ?2, ?3, ?4 визначимо з умов:

(188)

(189)

Розв’язуючи системи рівнянь (188), (189), отримаємо:

(190)

(191)

Таким чином, формули (187) набувають вигляду

(192)

або в матричній формі

(193)

де Ф – матриця функцій форм елемента (рисунок 79):

(194)

 

Рисунок 79 – Функції форми прямокутного елемента

Матриця диференціювання для плоского напруженого стану [6]:

(195)

Матриця Коші (3.4)

     (196)

що в результаті дає

  (197)

Матриця закону Гука для плоского напруженого стану [6]

(198)

де Е,  – модуль пружності і коефіцієнт Пуассона матеріалу елемента.

Матриця жорсткості елемента за формулою (75)

(199)

або з урахуванням виразів (197) і (198)

Матриця мас елемента за формулою (72)

де т – маса елемента:

(202)